¿Cómo se puede demostrar que esta función es totalmente diferenciable en a$\mathbb{R^2}$ y no continua parcialmente diferenciable en a$\mathbb{R^2}$?
$$ f(x, y) := \begin{cases} (x^4-y^4)\cos\left(\dfrac{1}{\|(x,y)\|^3_2}\right), & (x, y) \neq (0,0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{casos} $$
Sé que para probar el total de derivados, uno primero tiene que comprobar, si esta función es continua y derivable parcialmente, o no.
También sé que no puedo utilizar la siguiente fórmula para demostrar que una función es totalmente diferenciables:
$$ \dfrac{f(x, y) - f(0, 0) - \left(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)(0, 0)\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)(0, 0)\right)\cdot\left({x 0}\cima de{y-0}\right)}{|(x, y) - (0, 0)|} $$
Si esta fórmula da un $0$, la función es totalmente diferenciable.
Estoy atascado, sin embargo, ya ni siquiera puedo averiguar si la función es continua, o lo que el total de derivados sería.
Puedo sustituir $x^4 = a $ e $y^4 = b$ y, a continuación, que podemos seguir:
$$(a-b)\cos\left(\frac{1}{\left\|\sqrt{\sqrt{(x,y)}} \right\|^3_2}\right) =$$
$$ = (a-b)\cos\left(\frac{1}{\left\| \sqrt{(x,y)} \right\|^1_2}\right)$$
Y entonces, tal vez l'Hospital (aunque no sé la forma en que funcione para el denominador) y, a continuación, calcular el límite de la $n\to\infty$, que sería $0\cdot 1$ (creo, porque $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\to 1$ para $\lim\to\infty$), lo que nos da $0$, demostrando que la función es continua.
