Evaluación de $\lim_{x\to -\infty}(3/4)^x - (5/4)^x$

Question

Tengo que evaluar el siguiente límite y quiero saber si la siguiente manipulación algebraica es legítima.

$$\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^x - \left(\frac{5}{4}\right)^x$$ ¿Puedo cambiar el límite al infinito positivo, ya que sólo sería el recíproco de las fracciones como tal?

$$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{4}{3}\right)^x - \left(\frac{4}{5}\right)^x$$

Answer 1

Sí, esa es una forma muy agradable de proceder cuando se trata de límites a $-\infty$ para evitar confusiones y ahora se puede concluir que

$$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{4}{3}\right)^x - \left(\frac{4}{5}\right)^x=(\infty-0)=\infty$$

ya que no es una forma indeterminada.

Answer 2

Su idea de hacer $x\gets -x$ es muy bueno, al menos en el aspecto psicológico.

También se puede considerar una situación más general, que oculta los valores particulares implicados, que obstaculizan el camino: $$ \lim_{x\to\infty}(a^x-b^x) $$ con $a>b>0$ . Se puede reescribir como $$ \lim_{x\to\infty}a^x\left(1-\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^x\right) $$ Desde $0<b/a<1$ tenemos $$ \lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^x=0 $$ y por lo tanto sólo tienes que considerar $\lim_{x\to\infty}a^x$ . En su caso $a=4/3>1$ por lo que el límite es $\infty$ .