Significa $\mathbb P\{X\in A, Y\in B\}$?

Question

Deje $X,Y:\Omega \to \mathbb R$ dos randoms variables en $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$. Ahora, vamos a considerar la $(X,Y)$ a $(\Omega ^2, \mathcal F^2, \mathbb P\times \mathbb P)$. Estoy un poco confundir con $\mathbb P\times \mathbb P=:\mathbb P_2$. Ahora, siempre he pensado que $\mathbb P_2\{X\in A, Y\in B\}$ fue para denotar $\mathbb P(\{X\in A\}\cap \{Y\in B\})$. Pero $\{X\in A, Y\in B\}\in \mathcal F^2$, mientras que el $\{X\in A\}\cap \{Y\in B\}$ es de $\mathcal F$, no ? Así que estoy un poco confundir con esto.

Answer 1

Sí, en la teoría de probabilidad $$ \ mathbb {P} (A, B, C, \ puntos) $$ tradicionalmente significa lo mismo que $$ \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C \ cap \ cdots). $$

También hay algunas otras convenciones tradicionales: usar $\{X \in A\} $ para $\{\omega\in \Omega \mid X(\omega) \in A\}$ , $\mathbb{P}(X\in A)$ para $\mathbb{P}(\{X\in A\})$ etc.

Answer 2

Si $X,Y$ son variables aleatorias en la probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ entonces $(X,Y)$ es una notación para la función de $\Omega\to\mathbb R^2$ que es prescrito por:$$\omega\mapsto(X(\omega),Y(\omega))$$

En ese contexto, $\{X\in A,Y\in B\}$ es una notación para el conjunto $\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\wedge Y(\omega)\in B\}$.

Está relacionado con el hecho de que $X$ e $Y$ tienen en común un codominio.

Más $\mathbb P(X\in A,Y\in B)$ es una abreviatura de $\mathbb P(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\wedge Y(\omega)\in B\})$.

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Pero junto a ese $X$ e $Y$ también inducen una función de $\Omega^2\to\mathbb R^2$ por:$$(\omega,\omega')\mapsto(X(\omega),Y(\omega'))$$for which I would rather use the notation $X\times Y$.

En ese contexto hemos establece como $\{X\times Y\in C\}\subseteq\Omega^2$ donde $C\subseteq\mathbb R^2$.

El caso especial donde $C=A\times B$a causa, principalmente, de la confusión, porque estamos tentados a escribir: $$\{X\times Y\in A\times B\}=\{X\in A,Y\in B\}$$

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Todavía hay más, ya que $X,Y$ también tienen un dominio común, que conduce a una función: $$\Omega\sqcup\Omega=\Omega\times\{1\}\cup\Omega\times\{2\}\to \mathbb R$$

Una notación para las es $[X,Y]$ y la función es prescrito por $(\omega,1)\mapsto X(\omega)$ e $(\omega,2)\mapsto Y(\omega)$.