Probabilidad matemática de que el sorteo de lotería "5 de 36" tenga al menos un par de números con diferencia = 1.

Question

Dada una $5$ de $36$ lotería ( $5$ números únicos de un grupo de $36$ números que van $[1,2,…,36]$ ).

Cómo calcular la probabilidad de que un sorteo tenga al menos un par de números consecutivos (como $22, 23$ -un par de números cuya diferencia $23-22 = 1$ )?

Cada sorteo ( $5$ números) tiene $10$ pares. Para dif 1 tenemos un total de $35$ pares ( $1$ y $2$ , $2$ y $3$ ... $34$ y $35$ ). Hay un total de $630$ pares (binomial(35, 2)).

El problema es que creo que no puedo pensar así:

$1$ par de hormigón de $630$ aparece con $1/630$ posibilidades. Probabilidad de tener cualquiera de $35$ dif 1 pares es $35/630$ (si elijo $2$ números al azar). Pero elijo $5$ números (que dan $10$ pares) - y no es lo mismo que simplemente dibujar $2$ pares de $630$ pares.

En este caso no sé cómo razonar.

La cuestión es no dif 1 pero también dif 2 , dif 3 ... dif 35 (¡sólo hay un par de este tipo!).

¿Cómo calcular matemáticamente la probabilidad?

¿Puedo considerar que un único empate 5 de 36 equivale a 10 "elige una pareja de entre todas las posibles" independientes? Daría dif1 ( $35$ dif1 pares de $630$ todos los pares) como $((35/630)+(34/629)+(33/628)+(32/627)+(31/626)+(30/625)+(29/624)+(28/623)+(27/622)+(26/621))$ . Pero difiere mucho de una lotería real, ¡lo que me hace pensar que la fórmula (y el razonamiento) anteriores no son aplicables!

P.D. El método de las estrellas y las barras se describe aquí (wiki) Un ejemplo de cómo utilizarlo es aquí

Answer 1

Es más fácil contar los sorteos en los que no hay dos números consecutivos, mediante un método similar al de las estrellas y las barras. Hay 31 ceros, que representan los 31 números no extraídos. Estos definen 32 espacios entre ellos y a su alrededor (en los extremos); coloque cinco 1 que representen los números que son dibujados en esos espacios, como máximo uno por espacio. Existe una biyección entre esas colocaciones y los sorteos sin números consecutivos, y hay $\binom{32}5$ colocaciones en total, por lo que este es el número de casos excluidos. La probabilidad final de que el sorteo contenga algún par de números consecutivos es $$1-\frac{\binom{32}5}{\binom{36}5}$$

Consideremos ahora una diferencia prohibida de 2. Entonces los 36 números se dividen en 18 pares y 18 Impares, y si una combinación evita utilizar números consecutivos en estas dos sublistas, es válida. Entonces la número de combinaciones que evitan la diferencia-2 es la suma de los números de combinaciones con $a$ incluso y $5-a$ Números Impares, $0\le a\le 5$ evitando números pares o Impares consecutivos, lo que se reduce al problema resuelto anteriormente: $$\sum_{a=0}^5\binom{18-a+1}a\binom{18-(5-a)+1}{5-a}$$ A partir de aquí se puede calcular la probabilidad de que una combinación evite la diferencia de 2. Diferencias mayores significan más clases de números residuales, más particiones y más casos, pero los principios siguen siendo los mismos.