Consideremos el siguiente integral $$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x}dx\, .$$ Si tenemos en cuenta que $\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}$, tenemos $$\int \frac{\tan x}{\cos^2 x}dx = \frac{\tan^2 x}{2}+C \quad (1)$$ desde $\int f(x) f^\prime (x) dx= \frac{f^2(x)}{2}+C$ e $f(x)=\tan x$.
De lo contrario, si sustituimos $t=\cos x$: $$-\int\frac{dt}{t^3}=\frac{1}{2\cos^2 x}+C \quad (2) .$$ El resultado será el mismo, pero $\frac{\tan^2 x}{2}\neq \frac{1}{2\cos^2 x}$. La razón de esta aparente diferencia es la constante de $C$ en (1) y (2). No son la misma constante, y en realidad $\frac{1}{\cos^2 x}=\tan^2 x+1$. Si denotamos por a$C_1$ la constante de (1) y por $C_2$ la constante de (2), se ha $C_2=\frac12+C_1$. En mi opinión, este ejemplo es muy útil para que los alumnos sepan cómo de importante es la constante de integración.
Alguien puede sugerirme otros ejemplos de este tipo, sin funciones trigonométricas?
