Todo homomorfismo de grupo de $(\mathbb{Q}, +)$ a $(\mathbb{Q}, \times)$ es el mapa trivial.

Question

¿Cómo se demuestra que todo homomorfismo de grupo de $(\mathbb{Q}, +)$ a $(\mathbb{Q}, \times)$ ¿es el mapa trivial? Estoy tratando de usar la prueba por contradicción asumiendo que hay un elemento $\frac{a}{b}$ tal que algún homomorfismo $\phi$ tiene $\phi(\frac{a}{b}) = \frac{c}{d} \ne 1$ . Pero parece que no puedo deducir ninguna contradicción de aquí. ¿Tal vez el uso de la prueba directa es un mejor enfoque? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Para cualquier $r\in \mathbb Q$ y cualquier $n\in \mathbb Z$ , $$ \phi(r/n)^n = \phi(n * r/n) = \phi(r),$$ es decir $\phi(r)$ tiene un carácter racional $n$ -th root para cualquier $n$ . Ahora, queda por mostrar $1$ es el único elemento de este tipo en $(\mathbb Q, \times)$ que, honestamente, no es tan trivial para mí.

Answer 2

Supongamos que $\phi(1)=a$ entonces $\phi(\frac{1}{k})^k=\phi(1)=a$ es decir.., $\phi(\frac{1}{k})=a^{\frac{1}{k}}$ ( $k\in \mathbb{N}^*$ ).

Si $a=-1$ , toma $k=2$ entonces $\phi(\frac{1}{k})\notin\mathbb{Q}$ . Si $a\in \mathbb{Q}\backslash\{-1,0,1\}$ Supongamos que $a=\frac{m}{n}$ ( $m,n$ son números enteros primos relativos y $m>0$ ) y $m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}(n\geq 1)$ sea la descomposición estándar. Tomemos $k>\alpha_1$ entonces $\phi(\frac{1}{k})\notin\mathbb{Q}$ . De lo contrario, supongamos que $a^{\frac{1}{k}}=\frac{p}{q}$ ( $p,q$ son números enteros primos relativos), es decir $mq^k=np^k$ Así que.., $p_1|p^k\Rightarrow p_1^k|p^k \Rightarrow p_1^k|m\Rightarrow p_1^k|p_1^{\alpha_1}$ una contradicción. Por lo tanto, $a=1$ .

$\phi(1)=1\Rightarrow \phi(\frac{1}{k})=1^{\frac{1}{k}}=1\Rightarrow \phi(\frac{l}{k})=(\phi(\frac{1}{k}))^l=1$ Así que $\phi$ es trivial.

Answer 3

Estos son los puntos clave:

• $(\mathbb{Q},+)$ es un grupo divisible : cada elemento es un múltiplo de $n$ para todos $n \in \mathbb N$ .

• La imagen de $\phi$ es un subgrupo divisible de $(\mathbb{Q},\times)$ .

• El único subgrupo divisible de $(\mathbb{Q},\times)$ es el subgrupo trivial: el único elemento de $(\mathbb{Q},\times)$ que es un $n$ -en el poder para todos $n$ es $1$ .