Me sorprendió descubrir que la siguiente función parece ser estrictamente creciente para $x \ge 2$:
$$f(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(\frac{x}{2}+1)\Gamma(\frac{x}{3}+1)\Gamma(\frac{x}{5}+1)}$$
cuando he probado diferentes valores de $x$ el uso de Excel.
Yo había asumido que sería disminuyendo desde $x < \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5}$.
Quería comprobar que esto es cierto, mediante la comprobación de la derivada.
Me pareció que la manera correcta de hacer esto es utilizar esta serie de la función digamma, de modo que:
$$\frac{d}{dx}\left(\ln \Gamma(x+1) - \ln \Gamma(\frac{x}{2}+1) - \ln\Gamma(\frac{x}{3}+1) - \ln\Gamma(\frac{x}{5}+1)\right) =$$
$$ \psi(x+1) - \frac{\psi(\frac{x}{2}+1)}{2} - \frac{\psi(\frac{x}{3}+1)}{3}-\frac{\psi(\frac{x}{5}+1}{5}=$$
$$\frac{\gamma}{6}+ \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{30k+30}-\frac{1}{k+x+1} + \frac{1}{2k+x+2} + \frac{1}{3k+x+3} + \frac{1}{5k+x+5}\right)$$
No es obvio para mí que este derivado es mayor que $0$ para $x \ge 2$
¿Cómo puedo completar la derivada para llegar a mi conclusión acerca de si esta función es estrictamente creciente o no de $x \ge 2$?
