invertible polinomios sobre los no-conmutativa anillos

Question

Deje $f = a_0 + a_1 t + \dotsc + a_n t^n$ ser un polinomio sobre algunos triviales, posiblemente no conmutativa anillo de $R$. Cuando se $f$ invertible en a $R[t]$?

Al $R$ es conmutativa, la respuesta es conocida: $a_0$ es una unidad y $a_1,\dotsc,a_n$ son nilpotent. Hay elemento directo de las pruebas de esto, pero también es muy bonito la prueba que reduce la demanda a la integral de dominios $R$ por el uso que el radical de $R$ es la intersección de todos los primer ideales de $R$.

Lo que se sabe acerca de la no conmutativa? Claramente $a_0$ tiene que ser una unidad de aplicar la homomorphism $t \mapsto 0$). Desde $a_0^{-1} f$ es invertible iff $f$ es invertible, por consiguiente, se puede suponer que $a_0 = 1$. Si $f = 1 + a_i t^i$ algunos $i$, sigue siendo cierto que la $f$ es una unidad iff $a_i$ es nilpotent.

Answer 1

Una expansión de mi comentario. No existe ninguna enfermedad que puede ser enunciada sólo en términos de la $a_i$ por separado y que es invariante bajo la conjugación. Para ver esto, tome $R = \mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ y $$a_0 = I, a_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\\ 1 & -1 \end{array} \right], a_2 = I, a_3 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\\ 1 & 0 \end{array} \right].$$

Entonces $$a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 + t + t^2 & t \\\ t + t^3 & 1 - t + t^2 \end{array} \right]$$

ha determinante $1$, por lo que es invertible en a $R[t]$. (E $a_1, a_2$ no nilpotent!) Sin embargo, dejar $$b_3 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\\ -1 & 0 \end{array} \right]$$

que es el conjugado de a $a_3$ hemos $$a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + b_3 t^3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 + t + t^2 & t \\\ t - t^3 & 1 - t + t^2 \end{array} \right]$$

que tiene no es invertible determinante.