Esta es la primera vez que intento aplicar el cálculo de la diferencia de formas para hacer algunos cálculos lo siento si me dicen algo muy tonto. Mi intento fue el siguiente: $M=\mathbb{R}^3$, e $E\in\mathfrak{X}(M)$ el campo eléctrico debido a un punto de carga en el origen hemos de utilizar el sistema de coordenadas esféricas
$$E = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{1}{r^3} \dfrac{\partial}{\partial r},$$
queremos calcular la divergencia de $E$ el uso de formas diferenciales. Considerando entonces el tensor métrico $g = dr^2+r^2d\theta^2+ r^2\sin^2\phi d\phi^2$ podemos asociar un $1$formulario $E$. Antes de hacer esto vamos a utilizar la base de $dr$, $r d\theta$, $r\sin\theta d\phi$ de modo que el tensor métrico tiene la matriz de identidad en cada punto. Ahora, el formulario asociado con $E$, tiene componentes $E_i$ dada por
$$E_i = g_{ij}E^j,$$
entonces a partir de la $g_{ij} = 0$ $i\neq j$, $g_{11}=1$ y desde $E^j = 0$ $j \neq 1$ no se queda sólo en $E_1 = E^1$, por lo que consideramos que el $1$-forma
$$E^\flat = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{1}{r^3}dr,$$
pero esta es una $1$ -, ya que queremos que la divergencia necesitamos un $2$-forma, por lo que queremos llevar la estrella de hodge operador. En la base estamos trabajando con mapas de $dr\mapsto r^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi$, de modo que tenemos
$$\ast E^\flat = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0} \dfrac{1}{r^3}r^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi$$
ahora tomamos el exterior derivado de este, el cual por definición es
$$d(\ast E^\flat) = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0}d\left(\dfrac{1}{r^3}\right)\wedge r^2\sin\theta d\theta\wedge d\phi = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0} \dfrac{-3}{r^2}dr\wedge rd\theta\wedge r\sin\theta d\phi,$$
pero esto no es correcto. Sabemos que el resultado debe ser cero. Así que sin duda me hizo algunas enorme error allí. ¿Cuál es el problema con este cálculo?
