Coordenadas para la métrica FLRW

Question

En la RG, las coordenadas son sólo una herramienta para describir la física, deberían ser equivalentes. Sin embargo, en la forma estándar de la métrica FLRW, se puede inferir que el universo se está expandiendo, pero podemos hacer una transformación de coordenadas para que la parte espacial sea estática o cambie de forma diferente con respecto al tiempo. ¿Existe una noción de universo en expansión que no dependa de las coordenadas?

Answer 1

El sistema de coordenadas estándar es el más sencillo desde el punto de vista matemático, pero no creo que sea el más intuitivo desde el punto de vista físico. Esto se debe a que vivimos en objetos que están ligados gravitatoriamente, y admite objetos que están definidos electromagnéticamente. Esto significa que nuestras escalas de longitud locales no se ven afectadas por la expansión cosmológica. Pero, si se observa la métrica FRLW, en su forma estándar (elijo la cosmología plana para simplificar):

$$ds^{2} = - dt^{2} + a(t)^{2}\left(dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$$

se puede decir que, para algún observador constante-t, la regla se expande realmente con el tiempo en un factor $a$ . Por esta razón, cuando se describen las observaciones cosmológicas, en realidad me gusta utilizar un sistema de coordenadas diferente, en el que se sustituye $r$ con $R = a(t)r$ . Entonces, usted tiene $dR = {\dot a}r\,dt + a\,dr \rightarrow dr =dR- H (R/a)\,dt$ y la métrica se convierte (nótese que he utilizado la relación $H = \frac{\dot a}{a}$ para reemplazar $a$ con la "constante" de Hubble):

$$ds^{2} = -\left(1-H^{2}R^{2}\right)dt^{2} + 2dR\,dt\left(-HR\right) + dR^{2} + R^{2}d\theta^{2} + R^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}$$

En términos de física directa, este sistema de coordenadas es mucho más claro. Se ve que, para un observador constante-t, hay una singularidad de coordenadas en $R = \frac{1}{H}$ correspondiente al horizonte cosmológico. Además, este sistema de coordenadas tiene un $g_{tr}$ que, se puede demostrar, corresponde al arrastre del marco del sistema -- por lo que el espacio se expande naturalmente a una velocidad proporcional a $HR$ , lo que nos da la ley de Hubble.

Answer 2

Comentarios a la pregunta (v3):

1. Es cierto que existe una enorme libertad para elegir las coordenadas locales en GR pero no es posible alterar el tensor métrico $g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu}$ (cuando incluimos los elementos de base $dx^{\mu}$ y $dx^{\nu}$ ).

2. Dado un punto arbitrario pero único del espaciotiempo fijo $p$ existe Coordenadas normales de Riemann .

3. No podemos obtener los componentes métricos $g_{\mu\nu}$ en una forma simétrica prescrita arbitraria (con firma de Minkowski) en una vecindad abierta, por pequeña que sea. ¡No es una comida gratis!

Answer 3

Todos los sistemas de coordenadas son iguales, pero algunos son más iguales que otros ;)

En el caso de los universos de Friedmann, hay un conjunto distinguido de coordenadas que corresponde a una familia de observadores de caída libre que ven el universo como isotrópico y elegido de manera que la materia se distribuye homogéneamente dentro de una porción espacial en tiempo constante.

Además, podríamos elegir nuestras coordenadas de manera que la coordenada temporal coincida con el tiempo propio de nuestros observadores y las coordenadas espaciales coincidan con la distancia propia dentro de una porción espacial.

Esta es sólo una opción posible entre muchas otras: Por ejemplo, los observadores en movimiento relativo no verían el universo como isotrópico, y su descripción de la distribución de la materia sería tan válida como la que hemos elegido, sólo que menos conveniente.

Aunque mantengamos nuestro conjunto de observadores, somos libres de escalar nuestras coordenadas como creamos conveniente. Por ejemplo, el uso de coordenadas conformes con el tiempo y el movimiento hace que el espacio-tiempo FLRW se parezca engañosamente al espacio Minkoswki con una distribución estática de la materia:

( fuente )

Obsérvese cómo los rayos de luz amarillos vienen dados por líneas rectas y que las galaxias se situarían a una distancia comoving fija.

Sin embargo, esto es engañoso, del mismo modo que hacer un gráfico logarítmico no cambia la función subyacente. Hay que tener en cuenta que, sean cuales sean las coordenadas, las matemáticas seguirán funcionando gracias a la magia del cálculo tensorial: el espaciotiempo seguirá siendo curvo, la distancia propia dentro de los cortes espaciales aumentará y la luz experimentará un corrimiento al rojo.