¿Cómo puedo encontrar $ \int{(1 + \cos x)^3\mathrm dx} $ ?

Question

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo resolver la siguiente pregunta integral?

$$\int{(1 + \cos x)^3\mathrm dx}$$

Gracias de antemano,

Answer 1

Si no sabes cómo reescribir $\cos^n(x)$ en términos de $\cos(nx)$ Aquí hay una solución alternativa.

Ampliar $(1+\cos(x))^3 = 1 + 3\cos(x) + 3\cos^2(x) + \cos^3(x)$ . Ahora, ya sabes cómo integrar los dos primeros términos.

El tercer término se puede integrar mediante la fórmula del semicírculo $$\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2},$$ para que $$\int 3\cos^2(x)\,dx = 3\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}\right)$$

El último término se puede integrar mediante la identidad pitagórica $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x),$ así que $$\cos^3(x) = \cos(x) - \cos(x)\sin^2(x).$$ Y ahora $\int \cos(x)\,dx = \sin x$ y $\int \cos(x)\sin^2(x)\,dx = \frac{\sin^3(x)}{3}$ Así que $$\int \cos^3(x)\,dx = \sin x - \frac{\sin^3(x)}{3}.$$

Ahora sólo hay que unir las piezas.

Answer 2

También puedes usar números complejos para hacerlo mecánico.

Escriba $\displaystyle \cos x = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ y simplemente expandirse.

Este método permite encontrar integrales de la forma

$$\int P(\sin x, \cos x) \ \text{dx}$$

(donde $P(x,y)$ es un polinomio en las variables $x,y$ ) puramente mecánico, sin tener que hacer ningún álgebra inteligente, etc.

Answer 3

Ampliar $(1+\cos(x))^3$ . Y reescribir $\cos^n(x)$ en términos de $\cos(nx)$ y otros términos similares.

$(1+\cos(x))^3 = 1 + 3 \cos(x) + 3 \cos^2(x) + \cos^3(x) = \frac{\cos(3x)+6 \cos(2x)+15 \cos(x)+10}{4}$ .

Ahora, integra término por término para obtener la respuesta deseada.

$\int \cos(nx) = \frac{\sin(nx)}{n}$ .

Por lo tanto, $\int (1+\cos(x))^3 = \frac{\frac{\sin(3x)}{3}+6\frac{\sin(2x)}{2}+15 \sin(x) + 10x}{4} + c = \frac{\sin(3x)}{12} + \frac{3\sin(2x)}{4} + \frac{15 \sin(x)}{4} + \frac{5x}{2} + c$ .

Answer 4

SUGERENCIA:

Puede utilizar el Medio ángulo fórmula. $$\cos{2x} = 2\cos^{2}{x}-1$$ y así tienes $$1+\cos{x}= 1 + 2\cos^{2}\frac{x}{2} -1 =2\cos^{2}\frac{x}{2}$$ Así que la integral requerida es

\begin{align*} \int (1+\cos{x})^{3} \rm{dx} &= \int 8 \cdot \cos^{6}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) \ \rm{dx} \\ &= 8 \int \cos^{6}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) \ \rm{dx} \end{align*}