Cartier divisores de curvas suaves.

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $\pi : C \to Spec(k)$ ser una curva suave (es decir, separada, suave morfismos de finito de presentación y dimensión relacionada $1$) estoy tratando de entender un par de afirmaciones sobre lo que es un eficaz divisor de Cartier en $C$ parece que he leído en Katz-Mazur el libro de Aritmética de curvas elípticas (disponible gratuitamente aquí : https://web.math.princeton.edu/~nmk/katz-mazur.djvu)

Aquí hay un par de afirmaciones que estoy teniendo problemas para entender :

1) Cualquier sección de $\sigma : Spec(k) \to C$ $\pi$ define una efectiva cartier divisor (una sección separada de morfismos es un cerrado de inmersión). Que algebraicamente traducir, si no me equivoco, el hecho de que si $A$ es una dimensión uno, regular finito tipo de álgebra $k$, e $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal que es el núcleo de una de morfismos $A \to k$ $m$ es un local libre de $A$-módulo de rango uno.

2)Si $D \subset C$ es un cerrado subscheme que es finito $Spec(k)$ $D$ es un eficaz divisor de cartier. Usando la misma notación que antes si se traduciría como : si $I$ es un ideal de a $A$ tal que $A/I$ es un finito dimensionales $k$-espacio vectorial, a continuación, $I$ es localmente libre de rango uno.

3)Una eficaz divisor de Cartier en $C$ es finita $k$-esquema : si $I$ es un local libre de $A$-ideal de la fila $1$ $A/I$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial.

Así que, básicamente, creo que si ponemos todo junto se llega a la siguiente declaración :

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, $A$ regular $k$ álgebra de finito tipo y dimensión de $1$ $I$ a ser un ideal de a $A$. A continuación, $I$ es invertible (es decir, localmente libre de rango $1$) si y sólo si $A/I$ es un finito dimensionales $k$ espacio vectorial.

¿Es esto cierto ? Y si sí ¿por qué ?

Answer 1

Sí, la última afirmación es verdadera.
Esto es porque si por otra parte $A$ es un dominio, entonces es un anillo de Dedekind: en realidad, todos los no-cero ideal $0\subsetneq I\subset A$ es invertible, ya que por el resultado esencial en anillos de Dedekind, podemos escribir la $I=\mathfrak m_1^{a_1}\dots \mathfrak m_r^{a_r} $, donde el $ \mathfrak m_i$'s son máximos ideales, es necesario invertible con $A/\mathfrak m_i=k$, e $a_i\gt0$.
Observe que Dedekindness de la siguiente manera a partir de la regularidad de hipótesis, que es equivalente a todas las localizaciones $A_\mathfrak m$ ser discreta valoración de los anillos.

EDITAR
Si el anillo de $A$ satisface su hipótesis, pero no es un dominio puede ser escrito canónicamente como un producto de $A=A_1\dots \times A_s$ cuando la $A_i$'s son dominios de Dedekind a los cuales se aplica.
Más precisamente, de todos los ideales $I\subset A$ es un producto de ideales $I=I_1\times \dots\times I_s \quad (I_i\subset A_i)$ y que el producto es invertible si y sólo si todos los $I_i$'s no son cero, lo que es equivalente a $A/I$ (o todos los $A_i/I_i$'s) un ser finito-dimensional sobre $k$.
La imagen geométrica es cegadoramente claro: el esquema de $$\operatorname {Spec}(A)=\coprod _{i=1}^s\operatorname {Spec}(A_i) $$ is the disjoint union of its irreducible components, which coincide with its connected components, and of course a sheaf is invertible on $\operatorname {Spec}(A)$ if and only if its restrictions to these components $\operatorname {Spec}(A_i)$ son todos invertible.