Encontrar todos los polinomios $p \in \mathbb R [X]$ tal que $(x+1)p=(p')^2$

Question

(Donde $p'(x)$ es el derivado de la $p(x)$)

Esfuerzo de investigación:

lo que yo pensaba es que dado que el $(x+1)|(p')^2$ y $(x+1)|(p')$ (me gustaría justificar mejor esto, pero no sé cómo)

A continuación,

$$p'(x)= (x+1)h(x), h(x) \in \mathbb R$$

Reemplazando en la ecuación original,

$$ (x+1)p(x)=(x+1)^2h(x)^2$$

$$p(x)=(x+1)h(x)^2$$

que se derivan

$$p'(x)=2(x+1)h(x)h'(x)+h(x)^2$$

$p'(-1)=0$ y $h(-1)=(x+1)k(x), k(x) \in \mathbb R$

Finalmente

$$p(x)=(x+1)(x+1)^2h(x)^2$$

whith $h(x) \in \mathbb R$

¿Es esto aceptable?

Answer 1

Sugerencia: $0$ Polinomio, obviamente funciona. Ahora buscar polinomios cero que satisfagan nuestra condición. Tomar tal polinomio $p$ y suponga que $p$ tiene grado $n$. Entonces $(x+1)p(x)$ tiene grado $n+1$ y $(p'(x))^2$ $2(n-1)$ de grado. Que da $n=3$.

Observado que divide a que $x+1$ $p$. De hecho divide a $(x+1)^2$ $p$. Así $p$ tiene forma $(ax+b)(x+1)^2$. Ahora usted puede calcular.