Las personas tienden a tomar el teorema de Gödel y doblar, estirar, falsificar, empleamos mal, y en general hacer las cosas para que, si lo hizo a una cucaracha en Texas, se le detuvo por crueldad hacia los animales. Pero hay un libro, Franzén (2005), que debería ser suficiente para inocular cualquier adulto responsable en contra de tal comportamiento travieso. Algunos puntos de los Franzén:
- El teorema de Gödel sólo se aplica a formal axiomática de los sistemas.
- El teorema de Gödel sólo se aplica a los sistemas que pueden describir "una cierta cantidad de la aritmética" (que se define en una técnica específica, forma).
- El teorema de Gödel nos dice que cualquier coherente de teoría tendrá ciertas indecidible declaraciones. Sin embargo, estas declaraciones son de ningún interés en absoluto.
- Además de la noción de coherencia, no es uno de relativa consistencia.
Uno de estos es suficiente para mostrar que el teorema de Gödel no tiene ninguna relevancia para la empresa de la física. Vamos a tomar uno a la vez.
1. El teorema de Gödel sólo se aplica a formal axiomática de los sistemas.
Casi no útil, en el mundo real las teorías físicas alguna vez ha sido declarado como formal axiomática de los sistemas (salvo en el caso de Fleuriot, 2001). No hay tal formalización se ha usado para hacer cualquier palabra de la física (es decir, el tipo de cosa que usted podría conseguir publicados en una revista). "Formal axiomático sistema" significa algo muy diferente a una lgica de lo que un físico puede imaginar. Esto significa la reducción de todos los estados posibles de la teoría de cadenas de caracteres, y todos los de la teoría de los axiomas de la normativa para la manipulación de estas cadenas, declaró explícitamente que una computadora puede comprobar. Este tipo de formalización no es ni necesario ni suficiente para hacer una teoría física válida, útil o interesante.
2. El teorema de Gödel sólo se aplica a los sistemas que pueden describir "una cierta cantidad de la aritmética."
Esto es más de una limitación de lo que usted pueda imaginar. En nuestros días, la cultura científica, tenemos que ir a la escuela y aprender aritmética, entonces la geometría y el número real del sistema. Esto nos hace imaginar los enteros a ser un simple sistema matemático, y los reales para ser más complejo, construido en la parte superior de los números enteros. Esto no es más que un prejuicio cultural. La teoría elemental de los números reales es equivalente a la teoría elemental de la geometría Euclidiana. ("Elementary" tiene un significado técnico, siendo equivalente a la lógica de primer orden.) Elemental de la geometría Euclidiana es incapaz de describir "una cierta cantidad de la aritmética", como se define en el teorema de Gödel. Así que el teorema de Gödel no se aplica a la teoría elemental de los números reales, y de hecho, esta teoría ha sido demostrado ser consistente y completo (Tarski, 1951). Es muy posible que en un Dedo del pie puede ser expresada en lenguaje geométrico, sin el uso de la aritmética, o en el idioma del sistema numérico real. Por ejemplo, el Principia se acostó completamente en el idioma de Euclides los Elementos, y además no es obvio para mí que no hay ninguna obstrucción a enunciar las teorías como las ecuaciones de Maxwell o la relatividad general en el idioma del número real mediante un sistema de lógica elemental.
3. El teorema de Gödel nos dice que cualquier coherente de teoría tendrá ciertas indecidible declaraciones. Sin embargo, estas declaraciones son de ningún interés en absoluto.
Creo que esto es bastante auto-explicativo. Y no creo que decidability es necesario o, incluso, en particular la propiedad deseable de un Dedo del pie; algunos interesantes teorías matemáticas son decidable, y, sin embargo, la mayoría de los matemáticos pasar de cero tiempo de preocuparse por eso.
4. Además de la noción de coherencia, no es uno de consistencia relativa.
Es posible demostrar que un sistema axiomático es equiconsistent con otro, lo que significa que uno es auto-consistente si y sólo si el otro es. Si tuviéramos un Dedo del pie, y que podría hacer en un sistema axiomático, y era el tipo de sistema axiomático para que el teorema de Gödel se aplica, entonces probablemente sería equiconsistent con algunos otros conocidos del sistema, tales como la formulación de análisis real. Cualquier duda acerca de la consistencia de la cabeza, entonces sería equivalente a dudas sobre la consistencia de análisis real -, pero nadie cree que el verdadero análisis carece de consistencia.
Por último, ¿por qué nos preocupamos por "coherencia"? Estoy usando el susto comillas porque esta es la física de los que estamos hablando. Cuando hablo con un matemático sobre la "auto-consistencia" de una teoría, la reacción habitual es una mirada en blanco o de señorío de corrección. "Auto-"la constancia es la única especie de la consistencia de un matemático nunca se preocupa. Pero un físico preocupa más que eso. Nos preocupamos de si una teoría es consistente con el experimento. No hay ninguna buena razón para preocuparse de si un Dedo no puede ser comprobado a ser auto-consistente, porque hay otras preocupaciones que son mucho más grandes. El Dedo del pie podría ser coherentes en sí, pero alguien podría hacer un experimento que demuestre que estaba equivocado.
J. Fleuriot, Una Combinación de la Geometría de los teoremas y no estándar de Análisis con Aplicación a los Principia de Newton, 2001
T. Franzén, el Teorema de Gödel: Una Guía Incompleta para Su Uso y Abuso, 2005
A. Tarski, Una Decisión Método Elemental de Álgebra y Geometría, 2º apo. ed., 1951 [Reimpreso en sus collected Papers, Vol. 3.]
