Escribe el término general de la secuencia periódica $1$ , $-1$ , $-1$ , $1$ , $-1$ , $-1$ , $1$ ..., como $(-1)^{g(n)}$ u otra forma cerrada

Question

Cómo poner matemáticamente la secuencia que cambia de signo como:

$n = 0\quad f = 1$

$n = 1 \quad f = -1$

$n = 2 \quad f = -1$

$n = 3 \quad f = 1$

$n = 4 \quad f = -1$

$n = 5 \quad f = -1$

$n = 6 \quad f = 1$ .....

En forma de (-1)^(algo) o expresión analítica similar.

Answer 1

Esta fórmula funciona: $$f(n)=-\frac13+\frac43\cos\left(\frac{2\pi}3n\right)$$ Este es un gráfico de lo que parece.

Como la suma de tres valores consecutivos cualesquiera es $-1$ satisface esta relación de recurrencia: $$f(x+2)=-f(x+1)-f(x)-1$$ También satisface la relación de recurrencia $f(x+3)=f(x)$ Aunque eso es menos interesante.

(Geométricamente, piense en un círculo de radio $4/3$ centrado en el punto $(-1/3,0)$ . Este círculo pasa por los tres puntos equidistantes $(1,0)$ , $(-1,2/\sqrt3)$ y $(-1,-2/\sqrt3)$ (forman los ángulos de un triángulo equilátero inscrito en el círculo). La función $f$ toma alternativamente el $x$ -coordenadas de cada uno de estos puntos).

Answer 2

\begin {align} a_1 &= 1 \\ a_2 &= -1 \\ a_n &= a_{n-1}a_{n-2} \end {align}

Utilizando una relación de recurrencia del producto, tenemos

$$ a_n = a_2^{F_{n-1}}a_1^{F_{n-2}} $$

Dónde $F_k$ es el $k$ número de Fibonacci. Dada una forma cerrada para $F_k$ podemos simplificar $a_n$ .

$$ F_k = \frac{(1 + \sqrt{5})^k - (1 - \sqrt{5})^k}{2^k\sqrt{5}} $$

$$ a_n = (-1)^{F_{n-1}} = (-1)^{\frac{(1 + \sqrt{5})^{n-1} - (1 - \sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1}\sqrt{5}}} $$

Esto se resolvió de manera que el índice inicial de la secuencia fuera $1$ . Si quieres empezar en $0$ simplemente desplazamos el índice en $+1$ .

$$ a_n = (-1)^{F_{n}} = (-1)^{\frac{(1 + \sqrt{5})^{n} - (1 - \sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}} $$

---

Utilizando la fórmula de Euler, podemos obtener una solución mucho más (o menos) elegante:

$$ a_n = (-1)^{F_n} = \cos(\pi F_n) + i\sin(\pi F_n) = e^{i\pi F_n} $$

Answer 3

$$ {1 \over 3}\left[4\cos\left({2n\pi \over 3}\right) - 1\right]\,,\qquad n = 0,1,2,\ldots $$

Answer 4

Otra posibilidad (más cercana a la $(-1)^k$ que dices haber jugado) es: $$ (-1)^{1+\left\lfloor\frac{2(k-1)}{3}\right\rfloor} $$

(y no me extrañará que me haya equivocado en alguno de los turnos).

Answer 5

con $r = -\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$$a_k = \frac{2(r^k + \overline{r^k} ) -1}{3} $$

debería funcionar.

Siento haber publicado antes una respuesta errónea.