Dificultad en la solución de la ecuación trigonométricas difícil

Question

Encontrar $\theta$ $[0, 2\pi)$ tal que

$$\cos{\theta}^{\sin{\theta}^{\cos{\theta}^{\dots}}} = 2 + 2\sec^2{\theta}\tan^2{\theta} - \sec^4{\theta} - \tan^4{\theta}$$

No estoy seguro sobre cómo abordar este problema. Nunca he tratado con el exponentiation de funciones trigonométricas. Cualquier ayuda es útil. Muchas gracias

Answer 1

$$2 + 2\sec^2{\theta}\tan^2{\theta} - \sec^4{\theta} - \tan^4{\theta}=2+\frac{2*\sin^2\theta}{\cos^4\theta}-\frac{1}{\cos^4\theta}-\frac{\sin^4\theta}{\cos^4\theta}=\frac{2\cos^4\theta-(\sin^4\theta-2\sin^2\theta+1)}{\cos^4\theta}=\frac{2\cos^4\theta-(\sin^2\theta-1)^2}{\cos^4\theta}=\frac{2\cos^4\theta-(\cos^2\theta)^2}{\cos^4\theta}=1$ $ Para el exponente entero tiene que ser 0, que es fácil de abordar con (supongo que no necesita ayuda con eso)

Answer 2

Por la inspección, $\Theta=0$ es una solución. Hay poca esperanza de solucionar esto analíticamente a menos que usted puede encontrar una forma cerrada para la izquierda general $\Theta$.

Adición: $\Theta=\pi$ es otra solución, porque produce el mismo RHS como $\Theta=0$ y la LHS $$(-1)^{0^{(-1)^0\cdots}}$$ converges to $1$ (el valor del lado derecho).

Answer 3

Trabajar primero con el lado derecho, obtenemos

$$2+2\sec^2\theta\tan^2\theta-\sec^4\theta-\tan^4\theta\=2-(\sec^2\theta-\tan^2\theta)^2=2-1=1$$

Ahora tenemos una relación más fácil seguir adelante con:

$$\cos\theta^{\sin\theta^{\cos\theta^{\dots}}}=1$$

$\cos\theta=1$ Exactamente cuando $\theta=0+2k\pi$ y $\theta^x=0$ sólo cuando $\theta=0$. Para que cualquier otra solución que existe, debemos tener algunos $\theta,x$ tal que $\theta^x=2k\pi$, y desde $\sin \theta\in[-1,1]$ terminamos con $[0,\pi)^{[0,1)}\subset [0,\pi)$ y $[\pi,2\pi)^{[-1,1]}\subset (0,2\pi)$. En el primer caso, $0$ es la única solución posible y en el segundo caso, no hay posible solución.

Por lo tanto $\theta =0$ es la única solución posible.