Recientemente me he encontrado con un problema relativo al límite de una secuencia dada como, $$\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n + b^n)^\frac{1}{n}$$
Dónde $0<a<b$ . Resolver el límite no es una preocupación. Pero aplicar la regla de L'Hospital a este límite sí lo es para mí.
Al reordenar obtenemos, $b \lim_{n\rightarrow \infty} ((\frac{a}{b}) ^n + 1)^\frac{1}{n}$ . El solucionador había aplicado entonces la regla de L'Hospital para evaluar el límite. Aquí, como $n\rightarrow \infty$ el límite se aproxima a la forma $1^0$ . He tratado de pensar en este límite acercándose a una forma indeterminada. No es así. Desde mi conocimiento del teorema del valor medio de Cauchy, digo que no podemos aplicar la regla a las formas determinadas. Pero me parece que sí podemos porque le funcionó al solucionador. Creo que no lo tengo claro. ¿Alguien puede ayudar?
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Tienes razón, la regla de L'Hôpital no se aplica aquí. Y el límite es $b$ . ¿Qué respuesta da el solucionador?
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Tenga en cuenta que si $n$ es una variable entera, entonces no se aplica la regla de L'Hospital. En cambio, se puede utilizar Cesaro-Stolz en circunstancias similares. Para el límite actual, ni Cesaro-Stolz ni la Regla de L'Hospital son aplicables. La respuesta se obtiene fácilmente como $b$
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Para ser más específicos, la situación es como utilizar la regla de L'Hospital para el límite $\lim_{x\to \infty} \dfrac{1}{x}$ .
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@ParamanandSingh Si la regla de L'Hôpital da una respuesta cuando $n$ se considera una variable continua, el límite cuando $n$ es una variable entera es lo mismo. (No funciona en el otro sentido, seguro).
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@MatthewLeingang: de acuerdo pero cuando el problema es de secuencias prefiero usar los teoremas sobre secuencias. O si se quiere aplicar la Regla de L'Hospital o cualquier otro método aplicable a variable continua entonces es mejor ser explícito y mencionarlo.
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Tras acordar que $n$ puede ser cualquier número real positivo, no necesariamente un entero, podemos aplicar la regla de L'Hospital a $$\frac{\log \bigl(1 + \bigl(\frac{a}{b}\bigr)^n\bigr)}{n},$$ Véase, por ejemplo aquí . Es una tontería total ya que podemos ver directamente que el límite es $0$ pero es válido.
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@MatthewLeingang, el solucionador consiguió $b$ utilizando la regla ( bastante sorprendente ). Este límite se puede resolver sin esfuerzo. Aplicar la regla no sólo era necesario en mi opinión, sino que no era aplicable. La solución proviene del manual de soluciones de cálculo de Thomas, 12ª ed.
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@ParamanandSingh, en "este caso", imagino que la secuencia se mueve a lo largo de la curva $(a^x + b^x)^\frac{1}{x}$ . Así que entender el límite de esta curva me ayudará automáticamente a entender el límite de la secuencia. En este caso deberían ser iguales. Así es como aplico siempre la regla de L'Hospital al evaluar el límite de una sucesión.
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@DanielFischer: Interesante. No sabía que había casos de formas no indeterminadas donde el truco de L'Hôpital da el límite correcto. Pero como dices, es mejor evitarlo. Estoy más familiarizado con estudiantes que lo intentan para límites como $\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\cos x}$ y conseguir $\infty$ .
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He cometido un error tonto. El límite se puede evaluar mediante la regla de L'Hospital después de tomar el logaritmo natural de ambos lados. Pasé por alto el hecho de que tomar el logaritmo no tiene nada que ver con la regla de L'Hospital. Esto fue muy tonto por mi parte. Sí, podemos aplicar la regla después de tomar el logaritmo. Pero eso no es necesario aquí.