En mi libro, simplemente dice que la representación regular izquierda es el mapa f en la prueba del Teorema de Cayley, pero simplemente no entiendo ¿qué son? ¿Por qué necesitamos encontrarlos?
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Mike Miller
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Considere la posibilidad de un verdadero espacio vectorial $V_G$ su base en los elementos de $G$: es decir, elementos en $V_G$ son de la forma $\sum_{g \in G} a_g g$ donde $a_g \in \Bbb R$. A continuación, $G$ actúa en este espacio por el mapa $$h\left(\sum_{g \in G} a_g g\right) = \sum_{g \in G} a_g hg.$$ This is the left regular representation. The right one is defined analagously, by $$h\left(\sum_{g \in G} a_g g\right) = \sum_{g \in G} a_g gh^{-1}.$$ (We need to multiply by $h^{-1}$ if we want this to be a group action, or else $(gh)(v) \neq g(hv)$!)
Si se define un grupo de representación para un homomorphism $G \to GL_n(\Bbb R)$ algunos $n$, se obtiene una mediante el envío de un elemento $g \in G$ a el vector de la transformación del espacio que se induce en $V_G \cong \Bbb R^{|G|}$; es decir, $g \mapsto (v \mapsto gv)$. Las transformaciones $v \mapsto gv$ son lineales y invertible, por lo tanto, son elementos de $GL(V_G)$.
ItisNot Xiaoxiao Joy
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Mike respuesta es perfectamente razonable, pero yo prefiero mirar por ejemplo, porque se vuelve más claro de dónde viene. Creo que el entorno natural es el grupo de acciones. Un grupo que siempre actúa sobre sí mismo por la multiplicación, es decir, si $g\in G$, entonces podemos ver lo que sucede a medida que se multiplican los elementos de $G$ $g$ a la izquierda o a la derecha. Tomemos por ejemplo la $\Bbb Z_3$$1$. Deje que el símbolo $\rhd$ el valor de la acción, entonces
$$1\rhd 0 = 1+0 = 1$$
$$1\rhd 1 = 1+1 = 2$$
$$1\rhd 2 = 1+2 = 0$$
A continuación, podemos atribuir una matriz a $1$ si nos vamos a $0$, $1$ y $2$ "vectores de la base" en algún sentido. (Aquí voy a dejar $0 \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$, $1 \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ y $2 \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$). Lo anterior es sólo un conjunto de ecuaciones lineales, que es en definitiva la razón por la que consideran que el objetivo de la construcción - que se parece a una matriz-vector producto. Al hacer esto, tenemos que
$$[1] = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right).$$
De modo que obtenemos por ejemplo
$$1\rhd 0 \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$$
pero podemos atribuir este vector a $1$, que está en exacta acuerdo con lo que hemos observado anteriormente. Puede repetir este proceso en general, y de la manera exacta por que para hacer eso es Mike enfoque.
Detrás de esto es lo que se conoce como el anillo de grupo. El anillo de grupo es formal combinaciones lineales de los elementos del grupo con los escalares que viene de su campo subyacente. (Esto es lo que Mike ha hecho.) Si su campo es $\Bbb{C}$, el anillo de grupo se denota $\Bbb{C}[G]$. Más explícitamente, $\Bbb{C}[G] = \{\alpha_1 g_1+\cdots+\alpha_n g_n:\alpha_i\in\Bbb{C},g_j\in G\}$. Si esta notación es algo inquietante para usted, usted podría mirar como un $n$ dimensiones de espacio vectorial con coeficientes en $\Bbb{C}$, pero el espacio vectorial también está equipado con la "multiplicación" porque podemos multiplicar los elementos del grupo.
Como para ¿por qué miramos a la izquierda y a la derecha regular las representaciones, es porque (si no me equivoco..) cada irreductible representación está contenida dentro de la izquierda y la derecha regular representaciones. Así que para saber cuál de todos los irreducibles son para un grupo, sólo tenemos que averiguar lo que el irreducibles son para la izquierda (o derecha) regular la representación.
Stephen
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Anarkie
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Como @Grifulkin estados, el de la izquierda (resp. derecho) regular la acción es simplemente el grupo que actúa sobre sí mismo por la izquierda (resp. derecho) de la multiplicación. Una acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $X$ es equivalente a un homomorphism $G \to \text{Sym}(X)$ donde $\text{Sym}(X)$ es el conjunto de todas las permutaciones de $X$. Este homomorphism se llama permutación de la representación.
No estoy seguro de por qué las otras respuestas son tan centrado en espacios vectoriales, ya que del Teorema de Cayley no hace ninguna mención de ellos. Cayley del Teorema establece que un grupo finito de orden $n$ puede ser incorporado como un subgrupo del grupo simétrico $S_n$. En este post, me ilustrar este hecho mostrando que los elementos de la Klein 4-grupo puede ser representado por las permutaciones en $S_4$:
En primer lugar, debemos elegir la numeración de los elementos de $V$. Un poco arbitrariamente, yo elijo la etiqueta$1,a,b,ab$$1,2,3,4$, respectivamente. Primera nota de que $1$ debe actuar como la identidad de permutación. Se observa que el $a$ hechos por la izquierda de la multiplicación mediante el envío de \begin{align*} a: 1 &\mapsto a\\ a &\mapsto a^2 = 1\\ b &\mapsto ab\\ ab &\mapsto b \, . \end{align*} Recordando nuestra numeración vemos que la permutación $\sigma_a$ correspondiente a $a$ envía \begin{align*} \sigma_a: 1 &\mapsto 2\\ 2 &\mapsto 1\\ 3 &\mapsto 4\\ 4 &\mapsto 3 \end{align*} por lo $\sigma_a = (1\ 2)(3\ 4)$. Proceder del mismo modo con $b$$ab$, nos encontramos con $\sigma_b = (1\ 3)(2\ 4)$$\sigma_{ab} = (1\ 4)(2\ 3)$.
Tenga en cuenta que la elección de una numeración diferente para los elementos de $V$ el rendimiento de permutaciones diferentes. De hecho, el cambio de la numeración de los conjugados de todas las permutaciones.
