¿Por qué puede ' t una escalera hacia abajo una pared ir más rápido que la luz?

Question

Sé que el título suena ridículo, pero cuando me tomó de cálculo en la universidad teníamos un problema como este. El resultado parecía irreal para mí, pero no puedo averiguar la razón por la que no funciona.

Este fue el meollo de la cuestión:

Supongamos que hay una escalera apoyada en la pared, como se muestra en la siguiente figura. La escalera es $2$ metros de largo. La escalera está en una banda transportadora que se mueve lejos de la pared a una velocidad constante de $1$ metro por segundo.

¿Que tan rápido es el final de la escalera contra la pared se mueve hacia abajo una vez que se golpea el suelo?

Así que aquí es cómo solucionamos esto: Vamos a $h$ ser la distancia desde el suelo hasta la parte superior de la escalera, y $w$ ser la distancia desde la pared hasta el otro extremo de la escalera, y deje $l$ ser la longitud de la escalera.

Por el teorema de Pitágoras,

$$h^2+w^2=l^2$$

Tomamos la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo, y tenga en cuenta que la longitud de la escalera es constante:

$$2h\frac{dh}{dt}+2w\frac{dw}{dt}=2l\frac{dl}{dt}=0$$

La solución para $\frac{dh}{dt}$ nos da:

$$\frac{dh}{dt}=-\frac{w}{h}\frac{dw}{dt}$$

Supongamos que en el tiempo de $t=0$ de la escala es vertical. A continuación,$w=t$$h=\sqrt{l^2-w^2}=\sqrt{4-t^2}$. Tomar el límite de$\frac{dh}{dt}$$t\to 2$:

$$\lim_{t\to2^-}\frac{dh}{dt}=\lim_{t\to2^-}-\frac{w}{h}\frac{dw}{dt}=\lim_{t\to2^-}-\frac{t}{\sqrt{4-t^2}}\left(1\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)=\infty$$

Las ecuaciones están diciendo que la parte superior de la escalera se aproxima a infinito velocidad a medida que cae hacia el suelo!

Este no parece ser físicamente posible resultado, pero ¿qué parte de esta configuración no es phyiscally posible?

Answer 1

La pregunta debe tener un título diferente. La pregunta que se plantean al final no requiere de la relatividad de einstein para responder.

Hay una pregunta constante sobre las escaleras de deslizamiento, es decir, cuando deja el piso. Usted tiene una variación de este.

Las escaleras tienen masa finita, y por lo finito momento de inercia.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html

Su solución supone la escalera permanece en contacto con la pared y el cinturón. No. No me queda claro si la escalera está atado a la correa o simplemente descansando en él.

Pero necesitas trabajar fuera cuando la fuerza sobre la pared, o el cinturón, cae a cero. En ese punto de la escalera ya no contacto en un extremo, y su fórmula para la velocidad vertical dejará de ser válida.

Answer 2

En relatividad especial, la longitud ya no es $x^2 + y^2 = l^2$, % y $x^2 + y^2 - (ct)^2 = s^2$ donde $s$ ya no es la longitud de la escalera, pero el intervalo de espacio-tiempo. Esto significa que el teorema de Pitágoras ya no se sostiene y que la longitud de la escalera se convierte en dependiente del observador.

Answer 3

Elaborar @dainelunderwood la respuesta correcta, clásicamente, la escalera de un cuerpo rígido. Y en este caso es una "línea recta" en cuanto a tu argumento geométrico del que se trate. Pero cuando la teoría especial de la relatividad que implica ($\frac vc\not\ll1$), cuerpos rígidos y ya no necesariamente de la exhibición del cuerpo rígido de la geometría.

El "clásico" ejemplo de libro de texto (aunque google no inmediato tos de referencia) es un coche de más de un bache en la velocidad de $v\sim c$. Y supongamos que el diámetro de los baches es casi la misma que la longitud del coche. Así que considera la situación desde el punto de vista de un pasajero en el interior del coche. Para él, el bache parece exagerada, mediante el cual el coche no caer por el hoyo (aunque, "va a ser un viaje lleno de baches"). Pero desde el punto de vista de un observador en la tierra, es el coche que escorzo, el cual lo hace caer.

Así que es? En última instancia, el coche hace caer a través de los baches. Si (como dijo Daniel) calcular la especial geometría relativista de la letra, entonces usted encuentre el coche de "curvas" a través del agujero, suponiendo un tipo de dog-leg forma durante el otoño. Lo que sucede a su escalera es análogo. Obviamente, no hay nada de malo (nada de lo no-físico) sobre la de un metro por segundo transportador de correa de final de la escalera. Pero entonces la pared-la final será necesariamente curva hacia arriba como hacia abajo $v$ enfoques $c$. (Pero lo voy a dejar para "crédito extra" para averiguar la exacta geometría analítica de la forma de la curva:)