¿Por qué estudiamos números reales?

Question

Pido disculpas si esta es una pregunta algo ingenua, pero ¿hay alguna razón particular por la cual los matemáticos estudian desproporcionadamente el campo $\mathbb{R}$ y sus subconjuntos (en lugar de cualquier otra estructura algebraica)?

¿Es esto porque $\mathbb{R}$ es "objetivamente" más interesante en el sentido de que estudiarlo permite obtener ideas profundas sobre las matemáticas, o es más bien "arbitrario" en el sentido de que estamos inclinados a estudiar $\mathbb{R}$ debido a razones históricas, aplicaciones del mundo real y porque los seres humanos tienen una fuerte intuición natural sobre los números reales?

Editar: Tenga en cuenta que no estoy preguntando por qué $\mathbb{Q}$ es insuficiente como sistema numérico; esto ha sido preguntado y respondido en este sitio y en otros lugares. Más bien, ¿por qué, en un sentido más profundo, son $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ tan cruciales para las matemáticas? ¿Seríamos capaces de construir un estudio significativo de las matemáticas sin hacer ninguna referencia a estos conjuntos, o son fundamentalmente imperativos?

Answer 1

Me he preguntado a menudo lo mismo, y esto es lo que me digo a mí mismo. $\mathbb R$ es (hasta isomorfismo de campo conservando el orden) el único campo totalmente ordenado y completo. Esta es una noticia bastante importante, porque estas dos estructuras agradables conducen a tantas otras que encontramos útiles para estudiar en matemáticas. $\mathbb R$ (y más generalmente $\mathbb R^n$) es tan genial porque una plétora de estas "estructuras" fundamentales estudiadas en matemáticas están presentes en (al menos algún subconjunto de) $\mathbb R$. Cuando aprendemos nuevos conceptos, es natural (crucial) buscar ejemplos, y a menudo encontramos consuelo en la parada usual -- $\mathbb R^n$.

Aquí hay una encuesta pobre en el mejor de los casos de algunas de las estructuras mencionadas anteriormente que tiene $\mathbb R$.

Álgebra

• Grupo -- podemos combinar elementos, es decir, $a + b$, invertirlos, es decir, $a^{-1}$.
• Campo -- obtenemos más formas de combinar elementos, $+, -, \times, \div$.
• Campo ordenado -- podemos hacer cosas como la transitividad, es decir, $a < b \wedge b < c \implies a < c$, y "agregar desigualdades", es decir, $a \leq b \wedge c \leq d \implies a + c \leq b + d$.
• Espacio vectorial -- el álgebra lineal es bastante importante. La adición en forma de flecha es muy física.

Análisis

• Completitud -- a los analistas les encantan las secuencias... para converger. Esto permite muchos argumentos de "toma una secuencia..." que comienzan con una secuencia probablemente deseada que termina siendo de Cauchy.
• Compacidad -- siempre queremos aprovechar la compacidad en análisis, y $\mathbb R^n$ tiene una caracterización particularmente agradable de ella.
• Espacio de Hilbert -- todos amamos el espacio de Hilbert. La ortogonalidad es una herramienta útil. También lo es el teorema espectral.
• Espacio de medida -- medir es muy físico, ¡y crucial para integrar! $\mathbb R$ es el entorno natural para la famosa medida de Lebesgue, y todas las medidas se mapean en el "subconjunto" $[0,\infty]$ de $\mathbb R$. Para la integración de Riemann, las definiciones (de Darboux) se basan en la propiedad de cota superior de $\mathbb R$.

Geometría

• Espacio métrico -- podemos medir distancias $d(p,q)$ entre puntos. Esto es muy físico. La desigualdad triangular también está aquí, que es aún más útil en espacios normados, donde se lee $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$, porque lleva a muchas estimaciones útiles en análisis.
• Variedades -- cosas que por definición se parecen localmente a $\mathbb R^n$. Muchos "objetos" con los que lidiamos temprano en matemáticas son variedades (simplemente no lo sabíamos en ese momento).
• Todos los axiomas de separación (Hausdorff, regular, normal, ...).
• Todos los axiomas de contabilidad (separable, Lindelöf, ...).

No se muestra (por el bien del espacio y la inevitable falta de completitud) es la interrelación entre muchas de estas propiedades para $\mathbb R$, lo cual es otra virtud indispensable de $\mathbb R$.

Answer 2

No hay forma de hacer justicia a "¿Por qué las matemáticas tratan sobre los números reales?" dentro de las limitaciones de longitud de una publicación en Math.SE, pero aquí hay algunas observaciones y opiniones relativamente filosóficas (destinadas a ser un poco provocativas, en el espíritu de responder a una pregunta suave).

Primero, como han comentado varias personas, los números reales no son universalmente considerados como el sistema de números definitivo. En El camino hacia la realidad, por ejemplo, Penrose argumenta que los números complejos son más fundamentales para la física.

Dejando eso de lado, ¿por qué contamos, y de dónde vienen los números naturales, enteros y racionales? No soy historiador, por lo que todo lo siguiente debería considerarse como una parábola, sesgada por la formación matemática moderna.

Contar (tanto la posibilidad como la capacidad) surge de la tensión entre la variación y la uniformidad en el mundo natural:

• Gracias a la variación, hay "diferentes tipos de cosas": ese trozo de granito, ese roble allí, el pino al lado.... Si observamos de cerca el mundo natural, nos damos cuenta de que está hecho de objetos únicos, de eventos únicos, irreproducibles. De hecho, la noción de "evento" es nuestra forma de cortar el sólido flujo de la existencia en pedazos temporales y espaciales. Como dijo Heráclito, no puedes pisar el mismo río dos veces.

• Gracias a la uniformidad, hay clases reconocibles de cosas: rocas, árboles, copos de nieve, estrellas, amaneceres.... Ninguna roca (o árbol, o copo de nieve...) son exactamente iguales. Al menos, están "en lugares diferentes" o "en momentos diferentes" (de otra manera serían idénticos).

Una vez que se observa que el mundo natural contiene clases de cosas, "contar" es una forma razonable de medir "cuántos/cuánto". En (una paráfrasis de) la famosa cita de Kronecker, Los enteros fueron creados únicamente por Dios. Todo lo demás [en matemáticas] es obra del hombre. Al contrario, los números naturales (y por lo tanto los enteros) también fueron creados por nosotros, una abstracción para enumerar objetos distintos lo suficientemente similares como para agruparlos juntos para algún propósito.

Para resumir una larga historia:

• Un entero es una medida de comparación aditiva entre dos números naturales. Es un concepto que comprende una relación entre dos cosas diferentes. La construcción estándar de los enteros en teoría de conjuntos simplemente formaliza esto: Un entero es una clase de equivalencia de pares ordenados $(m_{1}, n_{1})$ de números naturales, con $(m_{1}, n_{1}) \sim (m_{2}, n_{2})$ si y solo si $m_{1} + n_{2} = m_{2} + n_{1}$.

• Un número racional es una medida de comparación multiplicativa entre dos enteros no nulos. La construcción estándar de los racionales blah, blah, blah.

No es sorprendente que ambas abstracciones fueran inventadas: Si dos personas tienen rebaños de ovejas (digamos), es natural preguntar "¿quién tiene más ovejas, y por cuántas?". Es natural representar las deudas como enteros negativos. Si un rebaño de ovejas (bueno...) debe ser dividido entre varias personas, es natural preguntar "¿Cuál es la porción de cada persona?", y usar números racionales para representar la respuesta.

Los números reales obviamente surgieron muchos siglos después, bajo las presiones del método de agotamiento de Arquímedes (para lo cual se necesitan números que representen "límites de sucesiones racionales"), y se formalizaron dos milenios después de eso para colocar el cálculo sobre una base lógica sólida.

No me atreveré a tocar siquiera los números complejos, en parte por falta de tiempo y espacio (jeje), pero principalmente porque Penrose (y muchos otros) lo hacen de manera mucho más competente, con la profundidad que el tema merece.

Answer 3

Una propiedad agradable de los números reales es que son completos: cada secuencia de Cauchy converge.

En análisis, a los matemáticos les gusta estudiar espacios que sean completos. La gente estudia espacios de Banach en lugar de espacios normados ordinarios; estudian espacios de Hilbert en lugar de espacios de producto interno ordinarios. Un espacio que no es completo no tiene propiedades tan agradables como los espacios completos.

Desde que el discípulo de Pitágoras descubrió que $\sqrt 2$ es irracional, eso fue el comienzo que señala que los números racionales $\mathbb{Q}$ no son suficientes para representar todas las cantidades.

Sin embargo, hay algunos "problemas" con los números reales, y conozco al menos a un profesor (sin mencionar su nombre aquí) que no cree en los números reales. Su razón, si recuerdo correctamente, es que una vez que profundizas, un número real no es solo una cadena de decimales: es una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy. No solo es cada secuencia de Cauchy infinita, cada clase de equivalencia es infinita (creo que incontable). Este es el precio a pagar por tratar con números reales.

Answer 4

También vale la pena señalar que este representante tiene un fuerte sesgo hacia el análisis. Un álgebraista se preocupa mínimamente por $\mathbb{R}$, generalmente las extensiones de campo de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}_p$ son mucho más interesantes. Los mal llamados así llamados Números Reales son muy poco importantes en Combinatoria y Teoría de Números en comparación con otros conjuntos, pero los matemáticos pasan mucho más tiempo hablando sobre los Números Reales porque hay un fuerte sesgo, tanto en la educación universitaria como en la educación más joven, hacia los temas analíticos sobre los algebraicos o topológicos.

Answer 5

Una parte sorprendentemente grande de la teoría de integración de Riemann-Stieltjes, tal como se presenta en el Análisis Matemático de Apostol, puede desarrollarse en el marco del sistema de números racionales. La propiedad de completitud del sistema de números reales solo se necesita cuando intentamos demostrar que toda función continua es integrable.

Son las pruebas existenciales de varios teoremas en Matemáticas las que representan un verdadero desafío. Estas pruebas consumen el 90% de la energía de un matemático. Los matemáticos aplicados y físicos teóricos no se preocupan por demostrar teoremas existenciales, y por lo tanto, ahorran el 90% de su energía.

Todo el edificio de la construcción de los números reales de Dedekind tiene como objetivo probar: Existe un campo ordenado completo.