¿Nuestra elección de base seguramente no efecto los posibles resultados de una medición?

Question

El sentido común dice que, por supuesto, el resultado de una medición en un sistema cuántico no puede ser afectado por lo que la base elegimos para representar. Sin embargo, mientras estudiaba QM texto, parece que a veces casi sugerir... Mi pregunta es muy vaga, así que déjame en lugar de dar un ejemplo que creo que contiene la mayor parte de mi confusión.

Considere un sistema en una base de la simultánea autoestados de $L^2$$L_z$, con los respectivos autovalores $l(l+1)\hbar^2$$m\hbar$. Deje $\mathbf{\hat{n}}$ ser un vector unitario en la dirección especificada por polar ángulos ($\theta,\phi$).

Claramente $L_n = \sin\theta\cos\phi L_x+\sin\theta\sin\phi L_y +\cos\theta L_z$

Ahora tengo dos ligeramente diferentes preguntas:

1. ¿Cuáles son los posibles resultados de un (precisa) medición de $L_n$, $L_n^2$?
2. ¿Cuáles son las posibles expectativas de los valores de $L_n$, $L_n^2$

Quisiera decirte

1. $m\hbar$, $l(l+1)\hbar^2$ o quizás $m \hbar \cos\theta$, pero esto significaría que mi elección de una dirección en el espacio afectado el resultado de la medición?
2. Ni idea y me hace la pregunta, mi respuesta a 1) de nuevo...

Answer 1

Los fenómenos de la mecánica cuántica puede ser expresado usando cualquier base (que es la palabra inglesa para el conjunto de los vectores, no una "base"). Esto no significa que todas las bases son igualmente útiles para una situación dada. En particular, un postulado fundamental de la mecánica cuántica dice que después de cada medición, el sistema se encuentra en uno de los autoestados de la observables que se acaba de medir.

Es por eso que la base de autoestados de $K$ es, obviamente, más útil para describir la medición de $K$ de otras bases. Tenga en cuenta que el que la base es útil – o a partir de los cuales se describe posible después de la medición del estado no dependen del tipo de medición que nos decidimos a realizar. Esta dependencia de la "derecha análisis del sistema físico" en el camino elegido de la observación es realmente un punto principal de la mecánica cuántica.

Si el análisis físico podría ser realizado independientemente de la naturaleza de las observaciones, la teoría sería, por definición, la física clásica, no la mecánica cuántica. Dicha independencia en las observaciones podría ser llamado "sentido común" a alguien, pero que no cambia nada sobre el hecho de que la Naturaleza contradice esta suposición.

1. $L_n$ siempre tiene los autovalores $m\hbar$ donde $m$ es un número entero. $L_n^2$ tiene los autovalores $m^2\hbar^2$ – porque es el cuadrado del operador de la frase anterior. Esto no debe ser confundido con $L^2$ a que los autovalores $\ell(\ell+1)\hbar^2$ donde $\ell=0,1,2,3,\dots$ $L^2$ siempre puede ser medido de forma simultánea con cualquier $L_n$ y en ese caso, $m\in\{-\ell, -\ell+1,\dots, \ell-1,\ell\}$.

2. La expectativa de valor de cualquier operador puede ser cualquier número del intervalo entre el menor y el mayor valor propio. Así que si medimos $L^2$ $L_n$ en el mismo momento, a continuación, $\langle L_n\rangle$ puede ser cualquier número real entre el$-\ell$$+\ell$.

Tenga en cuenta que para cada $\vec n$, el espectro de $L_n$ es el mismo. Para todas las opciones de $\vec n$, los operadores de $L_n$ son conjugadas entre sí, es decir $$\exists U\in U({\mathcal H}):\quad L_{n'} = U L_n U^\dagger $$ Aquí, el operador $U$ es un operador en el espacio de Hilbert que representa una rotación que se convierte en el $\vec n$ eje $\vec n'$ (pasiva o activamente, uno tendría que tener cuidado).

Los correspondientes estados propios de $L_n$ $L_{n'}$ también son conjugadas entre sí–, pero la detallada conjuntos de vectores propios son diferentes. Así que cuando medimos $L_n$, podemos poner el sistema en uno de los vectores de la base de $L_n$ por la medida, y si medimos $L_{n'}$, el candidato de post-medición los estados son los elementos de la base de diferentes vectores propios.