Si$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$, encuentra$f(2)$

Question

Dejemos$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ y es dado que

$f(0)=1$ y$f'(0)=-1$, donde$f'$ denota la primera derivada. Encuentra el valor de$f(2)$

¿Podría alguien decirme cómo usar$f'(0)=-1$ aquí? No puedo usar esta información.

Answer 1

Igualdad de $f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ sólo es posible para afín funciones, con la ecuación $$f(x)=ax+b \ \ \ \ (1)$$

(ver explicación más abajo)

Al imponer las condiciones de $f(0)=1$$f'(0)=-1$, se obtiene $b=1$$a=-1$. Por lo tanto la ecuación (1), en $f(x)=-x+1$. Por lo tanto, $f(2)=-1.$

Explicación:

• $f(\frac{x+y}{2})\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}$ caracteriza a las funciones convexas (es decir, cuya curva está por encima de cualquiera de sus tangentes),

• $f(\frac{x+y}{2})\geq\frac{f(x)+f(y)}{2}$ caracteriza cóncava funciones (es decir, cuya curva es bajo cualquiera de sus tangentes).

En vista de eso, las únicas funciones que son cóncavas y convexas son los afín funciones.

Answer 2

Si $f$ satisface su ecuación, $g(x) = f(x) - f(0)$ satisface la ecuación funcional de Cauchy $g(x+y) = g(x) + g(y)$. Por supuesto, si $f'(0)$ existe, entonces $g$ es continua. Las continuas sólo soluciones de la ecuación funcional de Cauchy son la funciones lineales $g(x) = ax$, por lo que las soluciones sólo continuas de tu ecuación son el afín funciones $f(x) = a x + b$. El resto es fácil.

Answer 3

Deje $y=0$ a su vez la ecuación uno con un parámetro $x$. Luego se diferencian ambos lados implícita a través de la diferenciación y verás que:

$$f'(\frac{x}{2})=f'(x)$$

Ahora aquí http://math.stackexchange.com/a/1800067 @Eric Wosfey respuestas acerca de esta ecuación con $f'(0)=-1$:

Voy a suponer que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se supone que ser $C^1$, lo $f'$ existe y es continua en todas partes. Ahora tenga en cuenta que para cualquier $x\in \mathbb{R}$, $f'(x)=f'(x/2)=f'(x/4)=f'(x/8)=\dots$. Pero $x/2^n$ converge a$0$$n\to\infty$, por lo que la continuidad de la $f'$ ahora implica $$-1=f'(0)=\lim_{n\to \infty}f'(x/2^n)=f'(x).$$ So $f'(x)=-1$ for all $x$, and thus $f(x)=-x+C$ for some constant $C$.

Así que a partir de su respuesta vemos que:

$$f(x)=-x+c$$

Se da eso $f(0)=1$, por lo que la sustitución de este en el que tenemos:

$$f(0)=c=1$$

Así

$$f(x)=1-x$$

Y por último,

$$f(2)=1-2=-1$$

Editar:

No parece claro que,

$$f'(x)=f'(x/2)=f'(x/4)=f'(x/8)...$$

Pero esto se deriva del hecho de que podemos sustituir $x=u/2$ en nuestra ecuación original para obtener:

$$f'(u/2)=f'(u/4)$$

$$f'(x/2)=f'(x/4)$$

Ahora sustituye $x=u/2$ nuevo y de nuevo, mientras que la conmutación de la variable ficticia $u$ $x$ para obtener el resultado, tan esenciales en su prueba.