Me han dado la función $$F(x)=\frac1x\int_0^x\frac{1-\cos t}{t^2}\,{\rm d}t$$ for $x\ne 0,$ $F(0)=\frac12,$ and charged with finding a Taylor polynomial for $F(x)$ differing from $F$ by no more than $5\times 10^{-10}$ on the interval $[-1,1].$
Mi Primer (problemática) Enfoque:
$\dfrac{1-\cos t}{t^2}$ está de acuerdo con la potencia de la serie $$\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!}t^{2k}$$ for all $t\ne 0,$ so since that series converges everywhere--and in particular converges uniformly on $[-1,1]$--then we have $$\begin{align}xF(x) &= \int_0^x\frac{1-\cos t}{t^2}\,dt\\ &= \int_0^x\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!}t^{2k}\,dt\\ &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!}\int_0^xt^{2k}\,dt\\ &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!(2k+1)}x^{2k+1}\\ &= x\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!(2k+1)}x^{2k}\end{align}$$ for all $x\in[-1,1].$ Furthermore, we have $$F(0)=\frac12=\frac{(-1)^0}{2!\cdot 1}\cdot 1=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!(2k+1)}0^{2k},$$ and so $$F(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+2)!(2k+1)}x^{2k}$$ for all $x\in[-1,1].$
Parecía que yo debería ser capaz de usar este poder de la serie para determinar polinomios de Maclaurin de cualquier (no negativo) grado me importaba para elegir, pero hubo un par de problemas con esta. Para uno, que yo no podía ver cómo encontrar un buen obligado para el resto, ya que no había en realidad se calcula cualquiera de los derivados de la $F.$ Por otro, una vez me hizo calcular el primero de varios derivados, se hizo evidente que el $n$th derivado de la $F$ no se define en $x=0$ al $n\ge3,$ por lo que el "obvio" que el polinomio de aproximaciones en realidad no son polinomios de Maclaurin, después de todo. [Edit: no importa sobre que el segundo problema. Resulta que yo haya escrito la tercera derivada he encontrado en Wolfram Alpha, lo que resulta en una de las funciones que no tenía límite de $x\to0.$]
Mi Segundo Método:
Traté de calcular los derivados de la $F$, de modo que yo podría explícitamente desarrollar los polinomios de Taylor, y todavía será capaz de utilizar la Taylor resto. Por desgracia, no he encontrado ningún patrón claro que puedo aprovechar para dar una forma cerrada para la $n$th derivado de la $F$ en general. Aquí están los primeros (con la reescritura de $F$ llega a través de la integración por partes), que tienen validez para todos los $x\ne0$:
$$F(x)=-\frac1{x^2}(1-\cos x)+\frac1x\operatorname{Si}(x)\\F'(x)=\frac2{x^3}(1-\cos x)-\frac1{x^2}\operatorname{Si}(x)\\F''(x)=-\frac6{x^4}(1-\cos x)+\frac2{x^3}\operatorname{Si}(x)+\frac1{x^3}\sin x\\F'''(x)=\frac{24}{x^5}(1-\cos x)-\frac6{x^4}\operatorname{Si}(x)-\frac7{x^4}\sin x+\frac1{x^3}\cos x\\F^{(4)}(x)=-\frac{120}{x^6}(1-\cos x)+\frac{24}{x^5}\operatorname{Si}(x)+\frac{46}{x^5}\sin x-\frac{10}{x^4}\cos x-\frac1{x^3}\sin x\\F^{(5)}(x)=\frac{720}{x^7}(1-\cos x)-\frac{120}{x^6}\operatorname{Si}(x)-\frac{326}{x^6}\sin x+\frac{86}{x^5}\cos x+\frac{13}{x^4}\sin x-\frac1{x^3}\cos x$$
Aquí, $$\operatorname{Si}(x):=\int_0^x\frac{\sin t}t\,dt.$$
Parece bastante claro que para cualquier entero $n\ge0$ y cualquier $x\ne0$ tendremos $$F^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{x^{n+2}}(1-\cos x)+\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}\operatorname{Si}(x)+p_n\left(\frac1x\right)\sin x+q_n\left(\frac1x\right)\cos x,$$ where $p_n$ and $q_n$ are some univariate polynomials determined by $n.$ En particular:
- $p_n\equiv0$ $n=0,1;$ $n\ge2,$ $p_n$ es un grado $n+1$ polinomio que es impar (origen-simétrica) al $n$ es, incluso ($y$-eje simétrico) al $n$ es impar.
- $q_n\equiv 0$ $n=0,1,2;$ $n\ge 3,$ $p_n$ es un grado $n$ polinomio que es extraño al $n$ es raro, incluso cuando $n$ es incluso.
Sospecho que incluso puede ser el de arriba por inducción (aunque yo no lo he probado, de momento). Yo no estoy viendo una clara manera de saber lo que los coeficientes de $p_n$ $q_n$ son, en general, a pesar de que. Probablemente este es un caso de simplificar demasiado, pero tal vez los coeficientes no tienen una buena forma cerrada.
Me gustaría hacer una de las siguientes cosas:
- Determinar formas cerradas para los derivados de la $F(x).$
- Determinar un punto de $x_0\ne0$ y una lo suficientemente grande $n$ tal que el $n$th el polinomio de Taylor de $F(x)$ centrada en $x=x_0\ne0$ es dentro de $5\times 10^{-10}$ $F$ en el intervalo de $[-1,1].$ parece, con el fin de hacer $n$ tan pequeño como sea posible y aún tienen los coeficientes relativamente fácil de calcular, se debe hacer $x_0=\frac\pi2$ o $x_0=\pi$ o algo así, pero esto es sólo un idea, y no he confirmado esto.)
Si alguien me puede ayudar a proceder a lo largo de uno de estos caminos, se agradecería. Métodos alternativos y sugerencias de cualquier tipo también sería bienvenido.