Yo quiero probar la siguiente fórmula
$$ \int\limits_{1}^{s}t^{-\frac{\alpha}{\beta}-1}(s-t)^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt=\frac{\Gamma(\frac{\alpha}{\beta})}{\Gamma(1+\frac{\alpha}{\beta})} \times \frac{1}{s}\times (s-1)^{\frac{\alpha}{\beta}} $$
Aquí es lo que yo hice
$$ \int\limits_{1}^{s}t^{-\frac{\alpha}{\beta}-1}(s-t)^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt= \int\limits_{1}^{s}t^{-\frac{\alpha}{\beta}-1}s^{\frac{\alpha}{\beta}-1} (1-\frac{t}{s})^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt=$$
$$= \frac{1}{s^2}\int\limits_{1}^{s}\frac{t^{-\frac{\alpha}{\beta}-1}}{s^{\frac{-\alpha}{\beta}-1}} (1-\frac{t}{s})^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt = \frac{1}{s^2}\int\limits_{1}^{s}(\frac{t}{s})^{-\frac{\alpha}{\beta}-1} (1-\frac{t}{s})^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt$$
$$=\frac{1}{s}\int\limits_{\frac{1}{s}}^{1}t^{-\frac{\alpha}{\beta}-1}(s-t)^{\frac{\alpha}{\beta}-1}dt $$
He pensado que puede utilizar la función Beta
$$ Beta(x,y)=\int\limits_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\;\; for\;\;\; x>0,\, y>0. $$
Pero parece que no está bien. Para esta fórmula, necesito una sugerencia no una solución a todo. Una pequeña sugerencia cuidando de mí para que la respuesta puede ser aceptable como exhaustivo respuesta para mí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que complicar el asunto.
Mediante la sustitución de su $\alpha/\beta$$a$, su fórmula es equivalente a $$\int_1^s t^{-a-1}(s-t)^{a-1} dt = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(1+a)}\frac{(s-1)^a}{s}$$
El lado izquierdo es igual a $$\int_1^s \frac{1}{t^2}\left(\frac{s-t}{t}\right)^{a-1} dt = \int_1^s \left(\frac{s}{t}-1\right)^{a-1} d(-\frac{1}{t}) = \int_{1/s}^1 (st-1)^{a-1} dt = \frac{(s-1)^a}{sa} $$ nota de que la última integral de primaria antiderivada.
Mientras que para el lado derecho, utilizando la identidad de $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, es igual a $\frac{(s-1)^a}{sa}$, por lo que ambos lados son de hecho iguales.
Aquí es una sugerencia.
Al principio pensé que se trataba de una simple aplicación de la definición de $Beta$ integral, que no es el caso.
Una primera dirección de cálculo sería la incompleta Beta integral (https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function#Incomplete_beta_function), pero lo que yo propongo es considerar su integral :
ya sea como una derivada fraccional de expresión (https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus)
o simplemente bajo la forma de una convolución
$$\tag{1}\dfrac{t^{a-1}}{\Gamma(a)} * \dfrac{t^{b-1}}{\Gamma(b)} $$
para el que tiene que demostrar que es igual a una función que pertenece a la misma familia de funciones de potencia.
La manera más fácil de lograr este objetivo es tomar la transformada de Laplace (LT) de (1), mediante la aplicación de las reglas de $LT(f(t)*g(t))=LT(f(t)).LT(g(t))$ (convolución da un producto) y $LT(\dfrac{t^{a-1}}{\Gamma(a)})=\dfrac{1}{s^{a}}$.
Nota : (1) debe ser escrita en la forma:
$$\tag{1}U(x)\dfrac{t^{a-1}}{\Gamma(a)} * U(x)\dfrac{t^{b-1}}{\Gamma(b)} $$
con $U$ la función de Heaviside ($1$ $x>0$, $0$ de lo contrario) con el fin de mejorar el hecho de que nos ocupamos causal funciones.
