¿Por qué es igual a $0!$ $1$?

Question

Muchas contar fórmulas que involucran factoriales puede tener sentido para el caso de $n= 0$ si definimos $0!=1 $; por ejemplo, el catalán y el número y el número de árboles con un número determinado de vetrices. Ahora, aquí está mi pregunta:

Si $A$ es asociativa y conmutativa de anillo, entonces podemos definir una unario operación en el conjunto de todos los subconjuntos finitos de nuestro anillo, se denota por a$+ \left(A\right) $$\times \left(A\right)$. Mientras es intuitivo para definir $+ \left( \emptyset \right) =0$, ¿por qué el producto de cero número de elementos a ser $1$? ¿El hecho de que $0! =1$ tienen nada que ver con 1 siendo la multiplicación de la unidad de los números enteros?

Answer 1

Aquí hay dos razones de fuerza.

1. Podemos definir $n!$ que el número de cambios de $n$ distintos objetos de una lista. La lista vacía tiene una cambio: sí mismo.

2. Podemos definir como el producto de todos los enteros positivos $n!$ $k$ $1\le k \le n$. Si $n$ es cero, tenemos un producto vacío. Un producto vacío debe ser neutro para la multiplicación, por lo que debe ser 1.

Elige tu opción.

Answer 2

En general, queremos que la ley "asociativa" en la forma: $ \times (un \cup B) = (A \times) (\times B) $$ cuando $A$ y $B$ son disjuntos. Lo que esto significa cuando $B = \emptyset$??

Answer 3

Creo que la definición de $0!=1$ es el que hace la mayoría de los trabajos de formulas muy bien.

Por ejemplo $(n+1)!=n! (n+1)$ también funciona para $n=0$, siempre como $0!=1$.

Pero lo más importante, $\binom{n}{k}$ también funciona en el caso $k=0$. En cuenta que $\binom{n}{0}$ $1$, si quieres tener una buena fórmula para $(a+b)^n$. Así que definimos para convenienceence, $\binom{n}{0}$ $1$, y si desea que el coeficiente binomial dadas por la fórmula estándar, entonces $0!$ tiene que ser 1.

Answer 4

Multiplicar por $1$ es igual que multiplicar no por nada en absoluto.

Answer 5

Como señala en una de las respuestas a esta matemáticas. Pregunta de SX, puede obtener la función Gamma como una extensión de factoriales, y esto cae de ella (aunque esto no es una respuesta muy combinatoria).