Demostrar $(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\le \int_{a}^{b}f(x)dx$

Question

Deje $f$ ser continuamente diferenciable en a $[a,b]$. Si $f$ es cóncava hacia arriba, demostrar que

$$(b-a)\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \int_{a}^{b}f(x)dx.$$

Sé que (y que han demostrado) $$(b-a)\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)= \int_{a}^{b}f(x)dx$$ for any linear function on $[a,b]$. Also, the graph of $f$ lies above the tangent line at $(\frac{a+b}{2},f(\frac{a+b}{2}))$.

Answer 1

Puedo conectar una sugerencia de la descripción de la situación

Answer 2

Deje $c = (a+b)/2$.

A continuación, utilice el valor de la media y teorema de convexidad.

Para $x \in [a,b]$ tenemos $f(x) = f(c) + f'(\eta_x)(x-c)$$\eta_x$$c$$x$.

Hay puntos de $a < \xi_1 < c < \xi_2< b$ tal que $f'(\xi_2) > f'(\xi_1)$ (convexidad) y

$$\int_a^bf(x)\,dx = \int_a^c[f(c) + f'(\eta_x)(x-c)]\,dx+\int_c^b[f(c) + f'(\eta_x)(x-c)]\,dx\\=f(c)(b-a) + f'(\xi_2)(b-a)^2/8 - f'(\xi_1)(b-a)^2/8\geq f(c)(b-a)$$

Tenga en cuenta que el valor medio teorema para las integrales nos da

$$\int_c^bf'(\eta_x)(x-c)dx=f'(\xi_2)\int_c^b(x-c)dx=f'(\xi_2)(b-a)^2/8,$$

y

$$\int_a^cf'(\eta_x)(x-c)dx=f'(\xi_1)\int_a^c(x-c)dx=-f'(\xi_1)(b-a)^2/8,$$

Answer 3

Como usted señaló, $f$ es convexa, implica que $f$ se encuentra por encima de la tangente líneas. La línea tangente en el punto medio del intervalo es $$g(x) = f'\left(\tfrac{a+b}2\right)\left(x-\tfrac{a+b}2\right)+f\left(\tfrac{a+b}2\right)$$

Ahora $f(x) \ge g(x)$ integrado a través de $[a, b]$ le da el resultado.

Answer 4

Deje $h(x)=f(x)-m x$ donde $m=f'(\frac{b+a}2)$. Por el Valor medio Teorema para las integrales (también relacionado con el valor promedio de una función), no es $c\in(a,b)$ tal que $h(c)(b-a)=\int_{a}^{b}h(x)dx$. Tenga en cuenta que $h$ es cóncava hacia arriba y $h'(\frac{b+a}2)=0$ por lo tanto $h$ tiene un mundial ( $[a,b]$ ) mínimo en $\frac{b+a}2$. Por lo tanto $h(c)\ge h(\frac{b+a}2)$. En otras palabras $\frac1{b-a}\int_{a}^{b}h(x)dx\ge h(\frac{b+a}2)$. Así $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}h(x)dx = \frac1{b-a}(\int_{a}^{b}f(x)dx - \frac{m}{2} (b^2-a^2))= \frac1{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx - {m}\frac{b+a}{2}\ge$ $h(\frac{b+a}2)=f(\frac{b+a}2)-{m}\frac{b+a}{2}$ a partir de la cual obtenemos $\frac1{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\ge f(\frac{b+a}2)$.

Answer 5

Ahora que he terminado la prueba en la imagen adjunta