¿Cómo debo pensar acerca de las correspondencias?

Question

Sé que al menos dos definiciones de la correspondencia, y mi pregunta bien podría ser de alrededor de dos de ellos.

1. Deje $X,Y$ ser objetos en su categoría favorita. Una correspondencia es un lapso, es decir, un diagrama de $X \leftarrow Z \rightarrow Y$.
2. Deje $X,Y$ ser objetos en su categoría favorita con los productos. Una correspondencia es un subobjeto de $X\times Y$.

Si su categoría de pull-backs, entonces no es una buena idea de la composición de vanos. Mi entendimiento es que la definición 2. no suele dar una buena idea de la composición. También, a veces, estas definiciones deben ser modificados. Por ejemplo, cuando la categoría se compone de espacios con estructura (simpléctica colectores, por ejemplo), a menudo se debería reemplazar $Y$ por encima con su opuesto. En particular, la correcta noción de cualquiera de estos debe ser tal que la gráfica de una función es un ejemplo de una correspondencia.

Estoy interesado en general en muy concreto categorías: la categoría de suave colectores, por ejemplo — y yo estoy esperando respuestas abiertas a mi pregunta abierta. Que es: ¿hasta qué punto debo tratar correspondencias como funciones?

Por ejemplo, si $K$ es un anillo objeto en mi categoría, ¿qué condiciones hacen que el conjunto de correspondencias entre las $X$ $K$ en un anillo? (O superior categoría analógica, ya que realmente la vida-se trata de una categoría de dos categoría, etc.)

Answer 1

Usted puede pensar en la sustitución de su categoría por su categoría de abarca como una especie de "linealización" de la categoría. Por ejemplo, si usted comienza con la categoría de conjuntos finitos, una correspondencia entre X e y es la misma cosa como un mapa de la libre conmutativa monoid en X a la libre conmutativa monoid en Y. (Aquí tenemos que ignorar los automorfismos de correspondencias.) De manera más general, la categoría de abarca se enriquece en conmutativa monoids (asumiendo que su categoría original ha finito co-productos).

Si queremos trabajar con la categoría de todos los conjuntos, se puede utilizar, en lugar de la libre conmutativa monoid en X, el Conjunto de la categoría^X de X-tuplas de conjuntos. Asociado a una función f : X → Y tenemos la restricción o retirada de functor f^* : Establecer^Y → Conjunto^X y su izquierda adjunto el pushforward functor f_! : Set^X → Conjunto^Y que lleva a la unión de todos los conjuntos correspondientes a los elementos de X enviada por f a un determinado elemento de Y. estas dos functors preservar colimits, debido a que f^* también tiene derecho adjuntos. Dada una correspondencia f : X ← Z → Y : g podemos formar el compuesto g_!f^* : Conjunto^X → Conjunto^Y que es también un colimit-preservar el functor. De hecho, esta construcción se identifica colimit-la preservación de functors del Conjunto^X al Conjunto^Y con correspondencias, como 2-categorías. Cuando restringimos a los elementos de^X que son finitos en cada elemento de X y decategorify, recuperamos el homomorphism entre la libre conmutativa monoids en X e y (en virtud de un adecuado finitud de la condición en Z).

Cuando empezamos con la categoría de esquemas, en lugar de Establecer^X debemos considerar la derivada de la categoría de quasicoherent poleas en X. Esto nos lleva al tema de la geométrica de la función de la teoría.

Answer 2

Bien, una razón para pensar acerca de las correspondencias como funciones es que en (nice) geométrica categorías, que dan mapas en cohomology. Por ejemplo, supongamos $X,Y$ ser esquemas (o colectores, o espacios topológicos, o...) y deje $Z\subset X\times Y$. A continuación, $Z$ viene con dos mapas de $Z\to X$ $Z\to Y$ (o, lo que ES esto, a partir de su definición). En virtud de niza circunstancias (adecuada, tv, etc), se obtiene pushforwards pullbacks entre el$Z$$X,Y$. Entonces usted puede conseguir un mapa de $\pi_1^\ast:H^\ast(X)\to H^\ast(Z)$ que puede ser integrado con $\pi_{2\ast}:H^{\ast}(Z)\to H^\ast(Y)$, y otro de $H^\ast(Y)\to H^\ast(X)$ por el cambio de $\pi_1$$\pi_2$. Así que bajo bastante razonable condiciones, consigue pushforwards pullbacks a lo largo de las correspondencias.

Ahora, como para el más general categórica pregunta, y abarcan las categorías, y el mayor de los anillos, no sé mucho. Yo sólo sé lo anterior es necesario incluso el estado de la Geométrica Langlands Conjetura correctamente, debido a que usted recibe Hecke correspondencias entre las pilas, que dan pushforwards pullbacks en las categorías derivadas.

Answer 3

Me gustaría llamar a un subobjeto de $X\times Y$ una relación. Y tienes razón que no representan en general; para tener una buena noción de composición de relaciones, que en su mayoría necesitan estar en una categoría regular. Esto incluye muchos "algebraica" de las categorías, pero no (decir) los colectores.

Answer 4

La convención de que la palabra "función" se refiere a algo que tiene exactamente un valor de cada elemento de su dominio es sólo alrededor de un centenar de años de edad. La correspondencia es una formalización de la antigua noción de un no-uno-o-muchos de los valores de la función, tales como la raíz cuadrada o la recíproca, en el marco de este convenio. También es posible trabajar con varios valores de las funciones fuera de este marco-superficies de Riemann fueron inventados antes de que el convenio se estableció, para comprender mejor varios valores de las funciones en el análisis complejo.

En su versión 2, que, literalmente, respecto de una correspondencia, una (valor único) función que toma un elemento x en X a un conjunto de valores de Y, por la intersección de la definición de subconjunto de X x Y con {x} de x y y que se proyectan a Y. En la versión más general 1, permitimos que el conjunto de valores que ser parametrizado por algo que no es necesariamente un subconjunto de Y.

Componer dos correspondencias, decimos que g(f(x)) es la imagen del conjunto de valores de f en x debajo de los múltiples valores de la función g. Esto está de acuerdo con la costumbre de fibra de la definición del producto de la composición.

Desde este punto de vista creo que el anillo de valores de correspondencias sobre un conjunto X no sí mismos la forma de un anillo, por ejemplo, porque no habrá inversos aditivos. (E. g. la función cuyo conjunto de valores de cada elemento es el conjunto de anillo no tiene negativos.) En la categoría de la teoría del lenguaje, el punto es que el producto cartesiano es sólo algunas monoidal estructura de correspondencias, no necesariamente una categoría de producto, por lo que Cor(X,K x K) no es el mismo como Cor(X,K) x Cor(X,K).

Answer 5

Mi entendimiento es que la definición 2. no suele dar una buena idea de la composición.

Por qué? En las categorías de conjuntos y quasicoherent poleas puede componer $\alpha \subset X\times Y\ $ $\beta \subset Y\times Z\ $ por algo como $\alpha \circ \beta = \pi_*(i^*(\alpha \boxtimes \beta))\ \ $ donde$i: X\times Y\times Z \to X\times Y\times Y\times Z\ \ $$\pi:X\times Y \times Z\to X\times Z\ \ $. Usted no necesita pushfowards para que.

Este se utiliza en algebrac geometría mucho, por ejemplo, llevar un paquete $\mathcal L$$X\times Y$, entonces usted tiene un mapa entre $D^b(X) \to D^b(Y)$ dado por la retirada, torciendo por $\mathcal L$ y el pushforward.