Finito abelian subgrupos de $\mathrm{SL_2}(\mathbb{C})$

Question

Este problema es de un Tel. D Examen de Calificación para el álgebra.

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Pregunta: Clasificar todos finito abelian subgrupos de $\mathrm{SL_2}(\mathbb{C})$ hasta isomorfismo.

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Mi intento: en Primer lugar, dado un entero positivo $n$, traté de encontrar un elemento de $\mathrm{SL_2}(\mathbb{C})$ orden $n$, y que era fácil; una rotación por $2\pi/n$ radianes. Por lo tanto, para cada $n\ge 1$, $\mathbb{Z}_n$ es un subgrupo de $\mathrm{SL_2}(\mathbb{C})$.

Mi conjetura es que no hay ningún otro finito abelian subgrupos de lo que he mencionado anteriormente, y tengo que probar o refutar, y aquí es donde me quedé.

¿Alguien tiene ideas?

Cualquier sugerencias o consejos serán de gran ayuda!

Answer 1

En su "Vorlesungen über das Ikosaeder" [Klein, 1993], publicada en 1884, Felix Klein da la clasificación de todos los subgrupos finitos de $SL(2,\Bbb{C})$ hasta conjugacy. El abelian son los grupos cíclicos $\Bbb{Z}/n\Bbb{Z}$ todos los $n\in \Bbb{N}$. Para una prueba de ver aquí.

Answer 2

Bien finita abelian subgrupo finito exponente $n$, por lo que todos sus elementos son raíces de $X^n-1$, por lo que sus elementos son codiagonalizable.

Ahora un elemento diagonal de $SL_2(\mathbb{C})$ es esencialmente un elemento de $\mathbb{C}^\times$; pero aquí tiene orden finito. De ahí su subgrupo es isomorfo a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (detalles para el lector)

Por el contrario, por supuesto, cualquier grupo es un subgrupo de $SL_2(\mathbb{C})$. Tenga en cuenta que este hecho produce una caracterización de hasta conjugacy, así que mejor que hasta isomorfismo