X es un espacio métrico compacto, el cual de lo siguiente debe ser verdadero?

Question

$X$ es un espacio métrico compacto, $f$ es una función continua de $X$ $\rightarrow$ $X$, cuál de los siguientes debe ser verdadera?

A. $f$ tiene punto fijo

B. $f$ es un cerrado mapa

C. $f$ es uniformemente continua

Sé que C está a la derecha por la compacidad. ¿Y los demás?

Answer 1

Sugerencia:

• Para Una, considere la posibilidad de una a dos elementos, establecer $\{x,y\}$ con la métrica discreta.

• Para B, el uso que se cerró subconjuntos de espacios compactos es compacto, que los subconjuntos compactos de Hausdorff espacios cerrados, y que la imagen continua de un compacto es compacto.

Answer 2

Para un no-discretas contraejemplo a Una, considere la posibilidad de $X=S^1$ y pensar acerca de las rotaciones. De manera más general, cualquier no-trivial de rotación de $\mathbb R^n$, $n$ impar, sobre el origen sólo tiene el origen como un punto fijo. Así que tome $X=\mathbb D_1 -D_2$ con D_1 un disco cerrado sobre el origen y la $D_2$ un disco abierto de radio más pequeño sobre el origen.