La distribución de la infinita suma de Poisson distribuido r.v.

Question

Deje $X_1,X_2\dots$ todos ser independiente, distribuye Poisson con parámetro de $l_i$ cada uno. A continuación, se sabe que para cada n $S_n:=\sum_{i=1}^n X_i\sim \text{po}(\lambda_n)$ donde $\lambda_n:=\sum_{i=1}^n l_i$.

Ahora suponga $\sum_{i=1}^\infty l_i = \lambda < \infty$ entonces es cierto que $S:=\sum_{i=1}^\infty X_i \sim \text{po}(\lambda)$?

Estoy pensando para cada una de las $x\in \mathbb{N}_0$ dominado por la convergencia y continuidad

$$P(S=x)=E[1_{\{S=x\}}]=\lim_{n\to \infty} E[1_{\{S_n=x\}}]=\lim_{n\to \infty}P(S_n=x)=\lim_{n\to \infty} \frac{\lambda_n^x}{x!}e^{-\lambda_n}=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$

Pero no puedo encontrar un resultado como este en cualquier lugar. Mi argumento es correcto? Es la declaración?

Answer 1

La variable aleatoria $S$ es casi seguramente finito porque $E[S]$ es finito. Por lo tanto $S_n\to S$ casi seguramente. Casi seguro de convergencia implica la convergencia en probabilidad, lo que implica la convergencia en distribución. Por lo tanto $S_n\to S$ en distribución. Para las variables aleatorias, la convergencia en los medios de distribución de convergencia de el peso en cada átomo. En el presente caso, el peso en cada una de las $k$ de la distribución de $S_n$ converge el peso en $k$ de la distribución de Poisson con parámetro de $\lambda$. Por lo tanto $S$ es de Poisson con parámetro de $\lambda$.

Answer 2

Su argumento parece correcto para mí. Creo que la forma correcta de definir $S$ es el límite de la probabilidad de $S_n$. El límite existe, porque la secuencia de $S_n$ es cada vez mayor. Por Borel Cantelli, usted sabe que $P(S< \infty) = 1$, y la distribución de $S_n$ es por la construcción $$ P(S = x ) = \lim_{n \to \infty} P(S_n = x) $$ que es lo que se calcula.