álgebra sigma generada por la variable aleatoria

Question

Considere el espacio de probabilidad $([0,1]; B[0,1], L)$ , donde $B[0,1]$ contiene los conjuntos de Borel que intersectan $[0,1]$ y $L$ es la medida de Lebesgue. Cómo puedo encontrar el álgebra sigma generada por una variable aleatoria definida en este espacio, $X = 1_{[0,1/2]}$ ? En segundo lugar, ¿cómo puedo determinar si las variables aleatorias definidas en este espacio son independientes o no, por ejemplo, son $X = 1_{[0,1/2]}$ y $Y = 1_{[1/4,3/4]}$ ¿Independiente?

Para encontrar el álgebra sigma generada por $X$ Me parece que $X^{-1}(1_{[0,1/2]})$ pero ¿cuál será esta inversa en los conjuntos de Borel? Para encontrar la independencia, debería ser suficiente mostrar las álgebras sigma generadas por $X$ y $Y$ son independientes, ¿verdad?

Answer 1

La sigma-álgebra generada por $1_{[0,1/2]}$ es simplemente $$ \bigl\{\emptyset,[0,1],[0,1/2],(1/2,1]\bigr\}. $$ Consiste en las preimágenes bajo la función $1_{[0,1/2]}$ de todos los conjuntos de Borel en el codominio de la función $1_{[0,1/2]}$ a saber, $(\mathbb R,B(\mathbb R))$ . (Obsérvese que la preimagen $1_{[0,1/2]}^{-1}(M)$ está completamente determinada por la información de si 0 y 1 pertenecen o no a $M$ respectivamente).

La situación para $1_{[1/4,3/4]}$ es similar.

Las variables aleatorias $1_{[0,1/2]}$ y $1_{[1/4,3/4]}$ en $([0,1],B[0,1],L)$ son efectivamente independientes: Para ello hay que comprobar que $L(A\cap B)=L(A)\cdot L(B)$ para todos $A\in 1_{[0,1/2]}^{-1}(B(\mathbb R))$ y $B\in 1_{[1/4,3/4]}^{-1}(B(\mathbb R))$ .

El caso más interesante es $L([0,1/2]\cap [1/4,3/4])=L([0,1/2])\cdot L([1/4,3/4])$ .

Comprueba que ambos lados son iguales.

Piensa también en la siguiente pregunta: ¿Son las variables aleatorias $1_{[0,1/2]}$ y $1_{[1/4,1]}$ en $([0,1],B[0,1],L)$ ¿también independiente?