Cómo resolver ecuaciones con desconocidos bases?

Question

Mi amigo se atrevió a mí para encontrar soluciones racionales para estas ecuaciones:

$$x+11y=100$$ $$xy=2$$

Y él sigue afirmando que es posible, pero incluso wolfram alpha no está de acuerdo.

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Tal vez la base de que está mal?

$$x+(b+1)y=b^2$$ $$xy=2$$

Pero luego tenemos a $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas, y no sé cómo hacer frente a este.

Wolfram se muestra la solución de $(x,y,b) = (1,2,3)$

Pero, ¿cómo puedo llegar a ellos paso a paso?

Además, observe que cuando me conecte en la base, el wolfram pierde el irracional $x,y$ soluciones para la base de $10$, incluso pensé que no puso ninguna restricción en las soluciones. ¿Por qué es eso?

Sólo muestra $-1$ $3$ soluciones para $b$?

Answer 1

Usted necesita $$ (b+1)y^2 - b^2 y + 2 = 0 $$ para tener una raíz racional, que es $$ b^4 - 8 b - 8 $$ un cuadrado. Esto es menor que $$ \left( b^2 \right)^2. $$ Es más grande de lo $$ \left( b^2 - 1 \right)^2 = b^4 - 2 b^2 + 1 $$ tan pronto como $$ 2 b^2 - 8b - 9 > 0. $$ Como $$ 2 \cdot 5^2 - 8 \cdot 5 - 9 = 1, $$ and this increases with $b,$ es imposible para $ b^4 - 8 b - 8 $ a ser un cuadrado al $b \geq 5.$ El resto de posibilidades se $b = 2,3,4.$