Combinatoria: elige 5 de 10 bolas de colores

Question

Normalmente no tengo problemas para pensar en la combinatoria pero la respuesta de este problema no me parece correcta.

Hay $5$ bolas negras, $1$ rojo, $1$ verde, $1$ azul, $1$ amarillo y $1$ blanco. ¿De cuántas maneras se puede elegir $5$ ¿Bolas?

La respuesta es $2^5$ ¿pero por qué? Lo estoy comparando con una cerradura con $4$ enteros, que tiene el número de combinaciones de $10^4$ .

¿Alguien tiene alguna explicación?

Answer 1

Puedes conseguir $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o $5$ bolas negras.

• Claramente, sólo hay un manera de conseguir $0$ Bolas negras: sólo tienes que coger todas las bolas de color.
• Hay cinco formas de conseguir sólo $1$ bola negra: puedes dejar fuera la roja, o la verde, o la azul, o la amarilla, o la blanca.
• Hay $5!/2!3!$ formas de conseguir $2$ bolas negras. Puedes dejar fuera cualquier combinación de 2 de las 5 bolas de color.
• Hay $5!/n!(5-n)!$ formas de conseguir $n$ bolas negras. (¿Entendiste por qué?)

Al final, sumando todas las formas puedes conseguir 5 bolas:

$$\frac{5!}{0!5!} + \frac{5!}{1!4!} + \cdots + \frac{5!}{5!5!}=2^5$$

Dado que la suma de los $n$ -la fila del triángulo de Pascal es $2^n$ .

Answer 2

Para el conjunto de formas de elegir las bolas, hay una roja o ninguna; y si no hay bolas rojas, entonces debe haber una bola negra. Lo mismo ocurre con todos los demás colores que no son negros.

Considera los cinco pares de bolas: rojo y negro, verde y negro, azul y negro, amarillo y negro, y blanco y negro.

El número de formas de elegir $5$ bolas es el mismo que el número de formas de elegir una bola de cada uno de los cinco pares: $2^5$ .