Dadas estas dos variables aleatorias independientes y de distribución uniforme, $$X \sim U[-\pi,\pi]$$ y $$Y \sim U[-\pi,\pi]$$
¿Cuál es la distribución de $$\sin(X)$$ y $$\sin (Y)$$ y la distribución de $$\sin(X)-\sin(Y)$$
Gracias
Respuesta
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El número $\sin X$ es la coordenada en el eje vertical del punto $(\cos X,\sin X)$ que se distribuye uniformemente en el círculo de radio unitario centrado en $(0,0)$ . Como la distribución de la coordenada en el eje vertical en las mitades izquierda y derecha del círculo es la misma, podemos considerar sólo la mitad derecha, por lo que tenemos la distribución de $\sin X$ con $X$ distribuido uniformemente entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ . Esto hace que la función seno sea estrictamente creciente, por lo que podemos decir $$ \Pr(\sin X\le w) = \Pr(X\le \arcsin w) = \frac{(\arcsin w) - (-\pi/2)}{(\pi/2)-(-\pi/2)} = \frac{(\arcsin w)+\pi/2}\pi. $$ La distribución de $Y$ es la misma. Y también lo es la distribución de $-Y$ ya que esta distribución es simétrica respecto a $0$ . Por lo tanto, la distribución de $\sin X-\sin Y$ es el mismo que el de $\sin X+\sin Y$ . La densidad de esa distribución se puede encontrar convolucionando la densidad anterior con ella misma. Tal vez vuelva $\ldots\ldots$
