Divisibilidad de la suma de coeficientes binomiales igualmente espaciados

Question

Según un cálculo numérico que hice para valores pequeños de $k$ parece que lo siguiente es cierto.

$$4|\left[\sum_{j=1}^{n-1}\binom{3n}{3j}\right]$$ o $$\sum_{j=1}^{n-1}\binom{3n}{3j}=4p, p\in\mathbb{Z}$$

Ex.

Si $n=2, \binom{6}{3}=20=4\cdot 5$

Si $n=3, \binom{9}{3}+\binom{9}{6}=2\cdot 84=168=4\cdot 42$

Si $n=4, \binom{12}{3}+\binom{12}{6}+\binom{12}{9}=2\cdot 220+924=1364=4\cdot341$

Si $n=5, \binom{15}{3}+\binom{15}{6}+\binom{15}{9}+\binom{15}{12}=2\cdot 455+2\cdot 5005=10920=4\cdot 2730$

¿Hay alguna forma de demostrarlo? Usando la inducción, como arriba he demostrado que el caso base es verdadero. Entonces, si suponemos que

$$S_m=\sum_{j=1}^{m-1}\binom{3m}{3j}=4q, q\in\mathbb{Z}$$

Entonces

$$S_{m+1}=\sum_{j=1}^{m}\binom{3m+3}{3j}=?$$

Y no tengo ni idea de cómo seguir adelante. ¿Quizás no es cierto? ¿Hay algún contraejemplo?

Answer 1

Empezando por el teorema del binomio, $$(1+x)^{3m} = \sum_{k=0}^{3m} \binom{3m}{k} x^k,$$ vemos que para la raíz cúbica de la unidad $\omega = e^{2\pi i/3}$ , $$(1+x)^{3m} + (1+\omega x)^{3m} + (1+\omega^2 x)^{3m} = 3 \sum_{\substack{k=0 \\ k \equiv 0 \pmod{3}}}^{3m} \binom{3m}{k} x^k.$$ Los términos en los que $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ se tamizan, ya que $1 + \omega + \omega^2 = 0$ . Ahora evalúa en $x=1$ : $$2^{3m} + (1+\omega)^{3m} + (1+\omega^2)^{3m} = 3 \sum_{\substack{k=0 \\ k \equiv 0 \pmod{3}}}^{3m} \binom{3m}{k}.$$ Desde $1+\omega = e^{\pi i/3}$ y $1+\omega^2 = e^{-\pi i/3}$ son raíces 6ª de la unidad, se deduce que $(1+\omega)^3 = (1+\omega^2)^3 = -1$ .

El lado derecho es casi 3 veces su suma $S_m$ pero $S_m$ no incluye el $k=0$ y $k=3m$ términos. Restándolos, encontramos $$S_m = \frac{2^{3m} + 2((-1)^m-3)}{3}.$$ Para $m \geqslant 1$ el numerador es siempre divisible por 4, lo que explica la divisibilidad observada.

Answer 2

Dejemos que $$S=\sum_{j=1}^{n-1}\binom {3n}{3j}$$ Añadir términos para $j=0$ y $j=n$ da $$\begin{align} S+2 &=\sum_{j=0}^n \binom {3n}{3j}\\ &=\sum_{r=0}^{3n}\binom {3n}r-\left[\sum_{j=0}^{n-1}\binom {3n}{3j+1}+\binom {3n}{3j+2}\right]\\ &=2^{3n}+2\Re\left[\sum_{j=0}^{n-1}\binom {3n}{3j+1}e^{i2\pi/3}+\binom {3n}{3j+2}e^{i4\pi/3}\right]\\ &=8^n+2\Re\left[\sum_{j=0}^{n-1}\binom {3n}{3j+1}e^{i2\pi(3j+1)/3}+\binom {3n}{3j+2}e^{i2\pi(3j+2)/3}\right]\\ &=8^n+2\Re\left[\underbrace{\binom {3n}{3n}+\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=1}^3\binom {3n}{3j+k}e^{i2\pi(3j+k)/3}}-\sum_{j=0}^{n}\binom {3n}{3j}\right]\\ &=8^n+2\Re\left[\qquad\ \ \quad\overbrace{\sum_{r=0}^{3n}\binom {3n}r e^{i2\pi r/3}}\qquad \qquad -\left(S+2\right)\right]\\ &=8^n+2\Re\big[\big(1+e^{i2\pi /3}\big)^{3n}-\left(S+2\right)\big]\\ &=8^n+2\Re\big[\big(e^{i\pi /3}\big)^{3n}\big]-2\big(S+2\big)\\ &=8^n+2\Re \big[e^{i\pi n}\big]-2\big(S+2\big)\\ &=8^n+2(-1)^n-2\big(S+2\big)\\ 3\big(S+2\big) &=2(-1)^n+8^n\\ 3S&=2(-1)^n+8^n-6\\ &\equiv 2(-1)^n+0+2\mod 4\\ &\equiv 2\pm 2\mod 4\\ &\equiv 0\mod 4\\ S=\sum_{j=1}^{n-1}\binom {3n}{3j}&\equiv 0\mod 4\\ \Longrightarrow 4\bigg|&\sum_{j=1}^{n-1}\binom {3n}{3j}\; \blacksquare\end{align}$$