Supongamos $\mu$ es finito, firmado medida de Borel en $\mathbb{R}$. (Digamos que es real para su conveniencia.) Supongamos, además, que los $\hat{\mu}$ (transformada de Fourier) es una $L^{1}(\mathbb{R})$ función. Me dicen que si $E$ es un conjunto de Borel, a continuación, $\mu(E) = \int_{E} f(x) \, dx$ donde $f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{\mu}(\xi) e^{i 2 \pi \xi} \, d\xi$. Te voy a mostrar esta demostrando que
\begin{equation*}
\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \quad \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \, \mu(dx) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) f(x) \, dx,
\end{ecuación*}
donde $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ es el de Schwarz espacio.
La primera cosa a comprobar es si o no $\hat{f}(\xi) = \hat{\mu}(\xi)$$\mathbb{R}$. Sin embargo, esto es claramente cierto en el sentido de las distribuciones, así que no voy a asistir a más. (Tenga en cuenta que $f \in L^{\infty}(\mathbb{R})$ es claro, pero no es inmediatamente obvio para mí en este momento que $f \in L^{1}(\mathbb{R})$.)
Supongamos $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. A continuación, $\varphi(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{\varphi}(\xi) e^{i 2 \pi \xi x} \, d\xi$ y, por lo tanto,
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \, \mu(dx) &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \hat{\varphi}(\xi) e^{i 2 \pi \xi x} \, d \xi \mu(dx) \\
&= \int_{\mathbb{R}} \hat{\varphi}(\xi) \int_{\mathbb{R}} e^{i 2 \pi \xi} \mu(dx) d \xi \\
&= \int_{\mathbb{R}} \hat{\varphi}(\xi) \hat{\mu}(-\xi) \, d \xi \\
&= \int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) \, dx.
\end{align*}
Anteriormente he utilizado el hecho de que $\hat{f} = \hat{\mu}$ en el sentido de las distribuciones. Desde $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ es denso en $C_{0}(\mathbb{R})$ --- de hecho, el primero contiene a $C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$---, de ello se sigue que $\mu = f \, dx$.
EDIT: yo nunca completamente abordado la cuestión. Supongamos ahora que $\varphi \in BUC(\mathbb{R}) \cap L^{1}(\mathbb{R})$ (BUC = delimitada uniforme de funciones continuas) es Hermetian (significado $\varphi(-\xi) = \overline{\varphi(\xi)}$), positiva definida, y $|\varphi(x)| \leq \varphi(0) = 1$. Los argumentos presentados anteriormente muestran que si defino $f \in L^{\infty}(\mathbb{R}; \mathbb{C})$$f(x) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(\xi) e^{i 2 \pi \xi} \, d \xi$, $\hat{f} = \varphi$ siempre que puedo demostrar $f \in L^{1}(\mathbb{R})$. Yo reclamo que $f \geq 0$$\int_{\mathbb{R}} f(x) = 1$.
Primero, se observa que la $f(x) \in \mathbb{R}$.e. Esto se desprende de la Hermetian simetría de $\varphi$. También se observa que el $1 = \varphi(0) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx$. Queda por mostrar $f \geq 0$. Hacemos esta demostrando que si $\psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$,$\int_{\mathbb{R}} \psi(x)^{2} f(x) \, dx \geq 0$. En efecto, dado un $\psi$, podemos escribir $\psi(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{\psi}(\xi) e^{i 2 \pi \xi x} \, d\xi$ y la integral converge uniformemente (w.r.t. $x$). Por lo tanto, si escribimos $\psi_{n}(x) = N^{-1} \sum_{j = -N^{2}}^{N^{2}} \hat{\psi}(jN^{-1}) e^{i 2 \pi jN^{-1} x}$, $\psi_{n} \to \psi$ uniformemente en $\mathbb{R}$. La integración, hacemos un llamamiento a positiva la certeza de encontrar
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}} |\psi_{n}(x)|^{2} f(x) \, dx &= N^{-2} \sum_{i,j = -N^{2}}^{N^{2}} \hat{\psi}(iN^{-1}) \overline{\hat{\psi}(jN^{-1})} \int_{\mathbb{R}} e^{-i 2 \pi (i - j)N^{-1} x} f(x) \, dx \\
&= N^{-2} \sum_{i, j = -N^{2}}^{N^{2}} \hat{\psi}(iN^{-1}) \overline{\hat{\psi}(jN^{-1})} \varphi(iN^{-1} - jN^{-1}) \geq 0.
\end{align*}
El envío de $n \to \infty$, nos encontramos con
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}} \psi(x)^{2} f(x) \, dx \geq 0.
\end{align*}
Puesto que esto es cierto cuando se $\psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, se deduce que es verdad cuando $\psi \in L^{1}(\mathbb{R})$ por la densidad (y acotamiento de $f$). Finalmente, se observa que la si $g \in C_{c}(\mathbb{R})$$g \geq 0$, $\sqrt{g} \in C_{c}(\mathbb{R})$ y, por lo tanto, $\int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) \, dx \geq 0$. Puesto que esto es cierto independientemente de $g$, se deduce que el $f \geq 0$. Esto completa la prueba de Bochner del Teorema.
