Dudosa "prueba" de $e^x$ derivado?

Question

La prueba a la que me refiero es ampliamente discutido aquí: Derivada de la función exponencial de la prueba, pero me siguen sin estar convencidos por las respuestas que se refieren a la específica de la prueba descubierto por user1346994.

Todo se reduce a mostrar que la $\lim_{h\to 0}\left({\dfrac{e^{h}-1}{h}}\right) = 1$

Me parece muy engañando a reemplazar a $e$ $(1+h)^{1/h}$ en la expresión en el límite.

http://math.stackexchange.com/a/671305/309566 es la respuesta en la que estoy más interesado. Pero todavía estoy perplejo por la observación 'de nuevo por la continuidad y el cambio de las variables de bits.

Supongo que si mi deseo era modesta, sería una prueba de que sigue el enunciado, pero con una clara justificación. Gracias y lo siento si me suena confuso!

Answer 1

Ha habido muchas preguntas sobre el MSE tratar con el mismo problema, es decir, la derivada de $e^{x}$. La mayoría del tiempo de la operación (así como las personas que contestan a la pregunta) asume alguna definición de símbolo $e^{x}$, pero se olvidan de mencionar la definición de $e^{x}$ explícitamente.

Tenga en cuenta que una definición de $e$ sola no es suficiente para definir el símbolo $e^{x}$. Los enlaces de respuesta supone muchas cosas, casi todas de las cuales son muy difíciles de establecer. En particular, se asume lo siguiente:

1) Definición de $x^{h}$ todos los $h$ $x > 0$ que es una función continua de $h$.

2) la Existencia de límite de $\lim_{t \to 0}(1 + t)^{1/t}$

3) Intercambio de doble límites en $t, h$ suponiendo que la continuidad de una complicada función de dos variables $t, h$.

Sin justificar los supuestos anteriores (o, al menos, mencionar de forma explícita y el hecho de que necesitan ser justificados) la respuesta es un clásico ejemplo de deshonestidad intelectual. Sin embargo la mayoría de los libros de texto de primaria en el cálculo son culpables de la misma deshonestidad así que ni siquiera se piensa que esto es realmente un problema y el estudio de cálculo con no rigurosas pruebas (o incluso ninguna prueba en absoluto) es casi una tradición.

Una adecuada prueba de derivados de $e^{x}$ debe comenzar con la definición de símbolo $e^{x}$ y me han proporcionado un enfoque de este tipo aquí.

Answer 2

Mi intento:

Para finitos $h<1$ e integer $m$,

$$f(h):=\frac{e^h-1}h=\frac{\left(\lim_{m\to\infty}\left(1+\dfrac1m\right)^m\right)^h-1}h\\ =\lim_{m\to\infty}\frac{\left(1+\dfrac1m\right)^{mh}-1}h\\ =^* \lim_{m\to\infty}\frac{\left(1+\dfrac hm\right)^{m}-1}h\\ =\lim_{m\to\infty}1+\frac{m-1}{2m}h+\frac{(m-1)(m-2)}{3!m^2}h^2+\cdots\frac{h^m}{m^m}\\ =1+\frac h2+\frac{h^2}{3!}+\cdots$$ which is a convergent series as the terms are bounded by the powers of $h$, y la suma es delimitada por

$$\frac1{1-h}.$$

Luego apretando

$$\lim_{h\to0}f(h)=1.$$

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Por un cambio de variable $mh\to m$. También podemos empezar a partir de esta línea, como la definición de $e^h$.

Answer 3

Pues bien, la primera pregunta es si usted cree que $\lim_{h \rightarrow \infty}(1+h)^{1/h} = e$. Si usted matemáticamente creer que esto realmente depende de cómo se defina $e$. Una definición es bastante simple como esta el límite. Entonces usted necesita para probar $\frac d{dx}e^x = e^x$, que parece ser lo que el autor está haciendo.

Yo, personalmente, prefiero a definir $e$ como la exponencial de base de tener auto-derivada, sólo porque esto es cómo la gente ha estado describiendo $e$ a mí desde que era un niño. Su prueba es cero pasos en este caso.

Creo que la forma más común de definir $e$ es mediante la definición de $\ln$ primera como de la zona (integral definida) en $1/x$, y la definición de $e$$\ln(e) = 1$. A partir de aquí, demostrando el límite de hecho es un poco más difícil, pero conseguir que la derivada es sólo una cuestión de perseguir a los inversos de todo y usando el teorema fundamental del cálculo.

De todos modos, digamos que asumir este límite. Usted puede conseguir a $h \rightarrow 0$ en lugar de $\infty$ facilidad, en realidad. A partir de aquí es simplemente la composición de la (continua!) funciones: si $a(x) \rightarrow a_0$$b(a(x)) \rightarrow b(a_0)$. Lo que es un poco más complicado es establecer el límite que existe en absoluto, así que sí, hay mucho trabajo por hacer esta prueba completa, pero no va en la dirección equivocada.

Answer 4

Esto no puede convencer a usted y no es una solución para el problema de la limitación; otra forma de establecer la derivada de $e^x$.
Considerar la inversa, $x=\ln y$, $y>0$ y se diferencian ambos lados con respecto a $x$ conseguir $1=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$, el cual le dice $\frac{dy}{dx}=y$ donde $y=e^x$. Entonces, tenemos $\frac{d}{dx}e^x=e^x$. Suponemos que ya sabemos $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$, $x>0$ aquí y allá es más fácil de argumento para establecer que $\frac{d}{dx}\ln x=\lim\limits_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{1}{x}$, $x>0$.