¿Se puede derivar la Conexión Berry de una métrica?

Question

The Berry Connection es $$A_\mu(R)=-i \langle \Psi(R) |\partial_\mu \Psi(R) \rangle$$ que nos permite transportar en paralelo un estado indexado por $R$ . Podemos integrar la conexión Berry para obtener la fase Berry, y podemos diferenciar la conexión Berry para obtener la curvatura Berry.

¿Se puede derivar la Conexión Berry de una métrica? Como ejemplo prototípico, estoy pensando en cómo los símbolos de Christoffel en la Relatividad General (RG) pueden derivarse del tensor métrico. Además, creo que para cada conexión, existe una métrica para la que la conexión es una conexión Levi-Civita. Sin embargo, ¿existe una métrica natural y física que induzca la conexión de Berry?

En esta presentación El gran y poderoso Haldane relaciona la "distancia cuántica" con la Curvatura de Berry, pero no parece que se pueda derivar la Curvatura de Berry de la distancia cuántica de la misma manera que se relacionan la curvatura y la métrica en la RG.

Answer 1

La respuesta es positiva, salvo que al ser la conexión de Berry una conexión abeliana, la métrica correspondiente no es una métrica sobre el haz tangente como en el caso riemanniano, sino una métrica sobre un haz de líneas, es decir, una métrica unidimensional.

Este haz de líneas se definió en el libro de Barry Simon trabajo seminal donde demostró que la fase de Berry es la holonomía de una (conexión de) el haz de líneas hermitiano dado por: $\{R, |\Psi (R)\rangle \} \in (\mathcal{M}, C^\times )$ con sujeción a la restricción:

$$ H(R) |\Psi(R) \rangle = E(R) |\Psi (R)\rangle$$

Dónde $\mathcal{M}$ es el espacio de parámetros del hamiltoniano $H(R)$ . El haz de líneas se alinea en cada punto de $\mathcal{M}$ a lo largo del vector propio $|\Psi (R)\rangle$ de la ecuación de Schroedinger. Este haz posee una métrica en el espacio de las secciones que permite calcular productos escalares entre dos secciones $x$ y $y$ . ( $x$ y $y$ son funciones complejas localmente no evanescentes en $\mathcal{M}$ ):

$$ (x,y)(R) = \bar{x}(R) e^{-\langle \Psi(R) |\Psi (R)\rangle } y(R)$$ Este producto escalar es invariante en la transición entre parches de la colecta $\mathcal{M}$ .

Ahora es fácil demostrar que la conexión de Berry es compatible con esta métrica, (al igual que la conexión de Levi-Civita es compatible con la métrica de Riemann: $$\partial_{\mu} (x,y) = (D_{\mu} x,y) + (x, D_{\mu} y)$$ Dónde: $D_{\mu}$ es la derivada covariante correspondiente a la conexión de Berry $$D_{\mu} = \partial_{\mu}+iA_{\mu}$$