Qué hay de malo en el argumento $\sin^2{x}+\cos^2{x}=0$

Question

Me limitaré a citar un argumento expuesto en el libro Análisis 1 de Terence Tao.

Comienza con la expresión $\lim_{x\infty}\sin(x)$ , hacer el cambio de variable $x=y+\pi$ y recuerda que $\sin(y+\pi)=-\sin(y)$ para obtener $$\lim_{x\infty}\sin(x)=\lim_{y+\pi\infty}\sin(y+\pi)=\lim_{y\infty}-\sin(y)=-\lim_{y\infty}\sin(y)$$
Desde $\lim_{x\infty}\sin(x)=\lim_{y\infty}\sin(y)$ así tenemos $$\lim_{x\infty}\sin(x)=-\lim_{x\infty}\sin(x)$$ y por lo tanto $$\lim_{x\infty}\sin(x)=0$$ Si entonces hacemos el cambio de variable $x=\pi/2+z$ y recuerda que $\sin(\pi/2+z)=\cos(z)$ concluimos que $$\lim_{x\infty}\cos(x)=0$$
Elevando al cuadrado ambos límites y sumando vemos que $$\lim_{x\infty}(\sin^2(x)+\cos^2(x))=0^2+0^2=0$$ Por otro lado tenemos $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$

Aunque he leído la parte correspondiente del libro, todavía no soy capaz de entender el fallo en el argumento anterior.

Answer 1

$\lim_{x\to\infty}\sin x$ no existe.