$A$ es un auténtico $n \times n$ matriz con elementos positivos $\{a_{ij}\}$. Para todos los pares de $(i, j), a_{ij}*a_{ji}=1$, demuestran que, a $A$ tiene un autovalor no menos de $n$.
Respuesta
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Prueba 1. Por Perron-Frobenius teorema, $Av=\rho(A)v$ para algunos positivo autovector $v$. Deje $D=\operatorname{diag}(v)$ (la matriz diagonal cuya diagonal es $v$), $e=(1,\ldots,1)^T$ y $B=D^{-1}AD$. A continuación,$Be=\rho(A)e$. Desde $B$ es un aspecto positivo de la matriz con $b_{ij}b_{ji}=1$ todos los $i,j$, e $2\le b+\frac1b$ para cada número real positivo $b$, $n^2\le e^TBe=e^T\left(\rho(A)e\right)=n\rho(A)$ y el resultado de la siguiente manera.
Prueba 2. Para cualquier (entrywise) no negativo de la plaza de la matriz, se tiene (cf. Cuerno y Johnson, los Temas de Análisis de la Matriz de, 1/e, p.363, corolario 5.7.11) $$ \rho\left[A^{(1/2)}\circ(A^T)^{(1/2)}\right]\le\rho(A),\etiqueta{1} $$ donde las raíces cuadradas de los de arriba son tomados entrywise. En nuestro caso, $A\circ A^T=E$, la matriz con todas las entradas igual a uno. Por lo tanto $(1)$ da $\rho(A)\ge\rho(E)=n$. Como $\rho(A)$ es un autovalor de a $A$ (Perron-Frobenius teorema), el resultado de la siguiente manera.
