Cómo solucionar $\int \dfrac{x^5\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Question

Considere la integral

$$\int \dfrac{x^5\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

Cómo iniciar la integración? Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Mediante la sustitución de $ x = \sin(t) $ La integral se simplifica a $$\int \sin^5t \cdot \ln \left[\frac{1+ \sin(t)}{1-\sin(t)}\right] dt$$ Más simplificaciones se obtiene: $$ 2\int \sin^5t \cdot \ln[\sec(t)+\tan(t)] dt $$ reconocemos $\ln[\sec(t)+\tan(t)]$ como la antiderivada de $\sec(t)$, lo que sugiere la integración por partes con $u = \ln[\sec(t)+\tan(t)]$$dv = \sin^5t \cdot dt$.

Answer 2

$$ \int \dfrac{x^5\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx $$ $$ u = \ln\frac{x+1}{1-x} \quad dv = \frac{x^5 dx}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ v = \int \frac{x^5 dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad x = \sin\theta \quad v = \int \sin^5\theta d\theta = -\int (1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta ) d\cos\theta = \\ - \cos\theta + 2/3\cos^3\theta - 1/5\cos^5\theta = -\sqrt{1-x^2}+2/3(1-x^2)^{3/2} - 1/5 (1-x^2)^{5/2} $$ $$ du = \frac{1-x}{1+x} \frac{2dx}{(1-x)^2} = du = \frac{2dx}{(1+x)(1-x)} $$ $$ \int \dfrac{x^5\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx = (\ln\frac{x+1}{1-x})(-\sqrt{1-x^2}+2/3(1-x^2)^{3/2} - 1/5 (1-x^2)^{5/2}) - \int [(-\sqrt{1-x^2}+2/3(1-x^2)^{3/2} - 1/5 (1-x^2)^{5/2})\frac{2dx}{(1+x)(1-x)}] $$ $$ \int [(-\sqrt{1-x^2}+2/3(1-x^2)^{3/2} - 1/5 (1-x^2)^{5/2})\frac{2dx}{(1+x)(1-x)}] = \int [(-(1-x^2)^{-1/2}+2/3(1-x^2)^{1/2} - 1/5 (1-x^2)^{3/2})2dx] $$ $$ \int [(-(1-x^2)^{-1/2}dx = -\arcsin(x) $$ $$ \int 2/3(1-x^2)^{1/2} dx = 2/3 [\frac{1}{2}\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)] $$ $$ \int 1/5 (1-x^2)^{3/2} dx = 1/5[x\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{8}\left(\arcsin \left(x\right)-\frac{1}{4}\sin \left(4\arcsin \left(x\right)\right)\right)] $$

Todas las integrales involucradas han sido evaluados. Ahora lo que necesita para la suma :)