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Es (0,0) una solución a xyyx=0?

Estoy tratando de determinar si (0,0) una solución a xyyx=0. Mi corazonada es que no está definido ya que 00 es una forma indeterminada. Para intentar demostrar esto, he intentado lo de siempre "diferentes caminos diferentes límites" truco con

(x,axn)(0,0)

(x,sin(x))(0,0)

(x,ex1)(0,0)

Ninguna de las anteriores logrado mi objetivo.

Encontré este post anterior (xy=yx para los números enteros x y ), el cual incluía una respuesta por "Yuval Filmus" que dice y=x=0 trivially una solución. Esto lo logró mediante la definición de 00 a cierto valor y se mueve. Me gustaría ver algo más riguroso, si es que existe.

Consejos sobre cómo proceder?

Editado por redacción.

Edit: Stefan Smith confirma mi sospecha de que el comentario de Yuval Filmus no puede ser rigurosa.

4voto

Dylan Yott Puntos 4464

Esto puede parecer insuficiente, pero si usted defina 00 a ser cualquier número finito, a continuación, (0,0) es una solución, si no, no. Personalmente, me gustan 00=1, pero algunas personas no están de acuerdo. Este sitio tiene mucho que decir acerca de la cuestión de la 00, y usted puede buscar que. En última instancia es una cuestión de definición.

2voto

Terry Phan Puntos 36

Primero de todo, esta función puede no estar bien definido si x<0 o y<0 (por ejemplo, si x=1y=1/2,xy=i, que no es real). Por lo tanto, le sugiero que haga lo siguiente:

  • Definir la función sólo en R2++{(x,y)R2|x>0,y>0}
  • Demostrar que para cualquier secuencia (xn,yn)nZ+R2++ que converge a (0,0), usted tiene que f(xn,yn) converge a 0.

De esta manera, continuamente se puede ampliar la función de a (0,0) por definir f(0,0)0.


Lástima que esto no puede ser! Para ver esto, vamos a

(xn,yn)(1n,1ln(n+1))nZ+ Claramente, (xn,yn)0n. Sin embargo, f(xn,yn)=(1n)1/ln(n+1)(1ln(n+1))1/n converge a1/e1n. Debido a esto, 0 no es una buena definición de f(0,0), ya que el 0 no puede ser abordado por la función de f cuando se evaluó cerca de (0,0).


En términos de cómo se puso originalmente, trate de

(x,ln(x+1x)1)

Esto converge a(0,0)x0, pero el valor de la función converge a 1/e1.

1voto

J. LaRosee Puntos 546

La respuesta corta es "no". La razón es que no es universal, siempre-de acuerdo-sobre la definición de lo 00 se supone que es igual. Y si 00 es indefinido, por lo que es 0000, e (0,0) no es una solución de xyyx=0.

Habiendo dicho eso, hay muchas situaciones en las que es conveniente permitir a 00 tomar un valor, siempre y cuando usted es muy cuidadoso, usted ha especificado en qué sistema de numeración que utiliza (reales? los números enteros? números enteros no negativos? los números complejos?) y cuáles son las reglas que están operando bajo. En la mayoría de estas situaciones que he visto, que el valor es 1.

Su pregunta no proporciona ningún tipo de contexto. Hay un (diophantine-ecuaciones) de la etiqueta en su pregunta, pero tu pregunta no hace mención de Diophantine ecuaciones, y si x y son enteros. Así que uno no puede realmente hacer un buen caso de que (0,0) resuelve la ecuación.

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