Es $(0,0)$ una solución a $x^y-y^x=0$?

Question

Estoy tratando de determinar si $(0,0)$ una solución a $x^y-y^x=0$. Mi corazonada es que no está definido ya que $0^0$ es una forma indeterminada. Para intentar demostrar esto, he intentado lo de siempre "diferentes caminos diferentes límites" truco con

$(x,ax^n)\rightarrow(0,0)$

$(x,\sin(x))\rightarrow(0,0)$

$(x,e^x-1)\rightarrow(0,0)$

Ninguna de las anteriores logrado mi objetivo.

Encontré este post anterior ($x^y = y^x$ para los números enteros $x$ $y$ ), el cual incluía una respuesta por "Yuval Filmus" que dice $y=x=0$ $\it{trivially}$ una solución. Esto lo logró mediante la definición de $0^0$ a cierto valor y se mueve. Me gustaría ver algo más riguroso, si es que existe.

Consejos sobre cómo proceder?

Editado por redacción.

Edit: Stefan Smith confirma mi sospecha de que el comentario de Yuval Filmus no puede ser rigurosa.

Answer 1

Esto puede parecer insuficiente, pero si usted defina $0^0$ a ser cualquier número finito, a continuación, $(0,0)$ es una solución, si no, no. Personalmente, me gustan $0^0=1$, pero algunas personas no están de acuerdo. Este sitio tiene mucho que decir acerca de la cuestión de la $0^0$, y usted puede buscar que. En última instancia es una cuestión de definición.

Answer 2

Primero de todo, esta función puede no estar bien definido si $x<0$ o $y<0$ (por ejemplo, si $x=-1$$y=1/2$,$x^y=i$, que no es real). Por lo tanto, le sugiero que haga lo siguiente:

• Definir la función sólo en $\mathbb R_{++}^2\equiv\{(x,y)\in\mathbb R^2\,|\,x>0,\, y>0\}$
• Demostrar que para cualquier secuencia $(x_n,y_n)_{n\in\mathbb Z_+}\subset\mathbb R_{++}^2$ que converge a $(0,0)$, usted tiene que $f(x_n,y_n)$ converge a $0$.

De esta manera, continuamente se puede ampliar la función de a $(0,0)$ por definir $f(0,0)\equiv0$.

---

Lástima que esto no puede ser! Para ver esto, vamos a

\begin{align*} (x_n,y_n)\equiv\left(\frac 1 n,\frac{1}{\ln(n+1)}\right)\quad\forall n\in\mathbb Z_+ \end{align*} Claramente, $(x_n,y_n)\to 0$$n\to\infty$. Sin embargo, \begin{align*} f(x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n}\right)^{1/\ln(n+1)}-\left(\frac{1}{\ln (n+1)}\right)^{1/n} \end{align*} converge a$1/e-1$$n\to\infty$. Debido a esto, $0$ no es una buena definición de $f(0,0)$, ya que el $0$ no puede ser abordado por la función de $f$ cuando se evaluó cerca de $(0,0)$.

---

En términos de cómo se puso originalmente, trate de

$$\left(x,\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{-1}\right)$$

Esto converge a$(0,0)$$x\searrow0$, pero el valor de la función converge a $1/e-1$.

Answer 3

La respuesta corta es "no". La razón es que no es universal, siempre-de acuerdo-sobre la definición de lo $0^0$ se supone que es igual. Y si $0^0$ es indefinido, por lo que es $0^0-0^0$, e $(0,0)$ no es una solución de $x^y-y^x=0$.

Habiendo dicho eso, hay muchas situaciones en las que es conveniente permitir a $0^0$ tomar un valor, siempre y cuando usted es muy cuidadoso, usted ha especificado en qué sistema de numeración que utiliza (reales? los números enteros? números enteros no negativos? los números complejos?) y cuáles son las reglas que están operando bajo. En la mayoría de estas situaciones que he visto, que el valor es $1$.

Su pregunta no proporciona ningún tipo de contexto. Hay un (diophantine-ecuaciones) de la etiqueta en su pregunta, pero tu pregunta no hace mención de Diophantine ecuaciones, y si $x$ $y$ son enteros. Así que uno no puede realmente hacer un buen caso de que $(0,0)$ resuelve la ecuación.