Olimpiada Británica de Matemáticas (BMO) 2006 Ronda 1 Pregunta 5, ¿solución alternativa posible?

Question

La pregunta dice

Para números reales positivos $a,b,c$ demostrar que

$(a^2 + b^2)^2 (a + b + c)(a + b c)(b + c a)(c + a b)$

Después de un poco de lucha algebraica podemos llegar al punto en el que:

$(a^2 + b^2)^2 + (a + b)^2(a b)^2 + c^4 2c^2(a^2 + b^2)$

En este punto, si tomamos la $LHS - RHS$ podemos escribir la expresión como la suma de cuadrados demostrando la desigualdad.

Me preguntaba si es posible dividir ambos lados por $c^2(a^2 + b^2)$ y mostrar de alguna manera que

$((a^2 + b^2)^2 + (a + b)^2(a b)^2 + c^4)/(c^2(a^2 + b^2)) 2$

Lo he intentado pero no he podido.

Answer 1

Supongamos que $a,b,c$ pueden formar los lados de un triángulo. Sea $s=\frac{a+b+c}{2}$ sea el semiperímetro. La desigualdad se convierte en $$(a^2+b^2)^2\ge2s\cdot 2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)$$ o por la fórmula de Heron, $$a^2+b^2\ge 4A$$ donde $A$ es el área del triángulo. Si $\theta$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$ esto se reduce a $$a^2-2ab\sin\theta+b^2\ge0,$$ y tenemos $$a^2-2ab\sin\theta+b^2\ge a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge0$$

En el caso de que $a,b,c$ no forman un triángulo, exactamente uno de los factores de la derecha es negativo o uno de los factores es $0$ por lo que la desigualdad es trivial.

Answer 2

Tenemos que demostrar que $$(a^2+b^2)^2\geq\sum_{cyc}(2a^2b^2-a^4)$$ o $$c^4-2(a^2+b^2)c^2+2(a^4+b^4)\geq0$$ o $$(c^2-a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)^2\geq0.$$

Sí, se puede demostrar esta desigualdad mediante la división.

De hecho, si $c^2(a^2+b^2)=0$ entonces la desigualdad es obvia.

Dejemos que $c^2(a^2+b^2)\neq0$ .

Así, por AM-GM y Cauchy-Schwarz $$\frac{c^4+2(a^4+b^4)}{c^2(a^2+b^2)}=\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{2(a^4+b^4)}{c^2(a^2+b^2}\geq$$ $$\geq2\sqrt{\frac{c^2}{a^2+b^2}\cdot\frac{2(a^4+b^4)}{c^2(a^2+b^2)}}=2\sqrt{\frac{2(a^4+b^4)}{(a^2+b^2)^2}}=$$ $$=2\sqrt{\frac{(1+1)(a^4+b^4)}{(a^2+b^2)^2}}\geq2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}}=2.$$

Answer 3

Simplifiquemos la desigualdad: $$(a^2 + b^2)^2 (a + b + c)(a + b c)(b + c a)(c + a b) \Rightarrow \\ a^4+2a^2b^2+b^4\ge ((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2) \Rightarrow \\ a^4+2a^2b^2+b^4\ge 2c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2-c^4 \Rightarrow \\ c^4-2(a^2+b^2)c^2+2(a^4+b^4)\ge 0 \qquad (1)$$ Es una desigualdad bi-cuadrática y su discriminante es: $$D=(a^2+b^2)^2-2(a^4+b^4)=2a^2b^2-(a^4+b^4)\le 0,$$ la ialidad se produce para $a=b$ . Obsérvese que la desigualdad $(1)$ es cierto para $D<0$ . Comprobaremos $D=0$ . Entonces la desigualdad $(1)$ y su solución será: $$\begin{cases} c^2=a^2+b^2=2a^2 \\ (2a^2)^4-4a^4+4a^4\ge 0\end{cases} \Rightarrow16a^8\ge 0.$$