¿La integración por partes implica la sustitución U?

Question

Me siento un poco extraño haciendo una pregunta de Cálculo, pero esto surgió hoy mientras enseñaba.

Se puede comprobar que si se empieza con alguna integral, que puede verse como un "problema obvio de sustitución en u", se puede utilizar la integración por partes, y acabar con el escenario en el que se tiene la integral original a ambos lados de la ecuación, de modo que se resuelve la integral.

Ejemplo: Dado $I=\int g^n(x)g'(x)dx$ podemos utilizar claramente la sustitución en u, pero si utilizamos la integración por partes obtenemos la ecuación $I=-nI+g^{n+1}$ . Esto no es nada excitante ni sorprendente, pero da lugar a la observación de que u-sub conduce a una de estas ecuaciones int por partes.

Pregunta ¿Es cierto lo contrario?

Lo que quiero decir es, si haces integración por partes y acabas con una ecuación de este tipo, ¿significa que podrías haber utilizado alguna sustitución en u muy inteligente?

Siento que debería saberlo, pero he pensado en ello hoy, y he preguntado a uno o dos amigos, y no vemos una prueba inmediata de ello.

Gracias.

Answer 1

Esto amplía un comentario que quizá no haya quedado del todo claro (quizá por su obviedad, por lo que pido disculpas).

Supongamos que tienes en tus manos algún método mágico de integración (como el de la pregunta). Me refiero a cualquier que toma una función expresión $f(x)$ y devuelve unos expresión $F(x)$ para su integral indefinida. (También asumo que aceptas $F(x)$ como una solución válida para su integración; Por ejemplo algunas personas podrían no aceptar una función elíptica, o los valores imaginarios son verboten, o puede que no les gusten las series de potencia, etc . El criterio de aceptabilidad se lo dejo a usted como una cuestión de gusto. Lo único que exijo es que sepa diferenciar $F$ y poder comparar ese resultado con $f$ para comprobar la validez de su método mágico). Una aplicación trivial del Teorema Fundamental del Cálculo afirma que la "muy inteligente" sustitución

$$u = F(x)$$

le permitirá realizar la integral. Esto ocurre, por supuesto, porque se puede calcular que $du = F'(x)dx = f(x)dx$ por lo que la sustitución convierte la integral original en $\int{du}$ con solución general $u + C = F(x) + C$ por sustitución inversa. En otras palabras, la pregunta, tal como está planteada, se limita a preguntar si el CCF es cierto en un caso especial.

Answer 2

Añadido: He interpretado la pregunta del siguiente modo: supongamos que utilizamos la fórmula de integración por partes, $$\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\,dx$$ y $\int v(x)u'(x)\,dx = \alpha \int u(x)v'(x)\,dx$ para alguna constante $\alpha$ de modo que podemos "resolver" la integral original como $$\int u(x)v'(x)\,dx = \frac{1}{1+\alpha}u(x)v(x) + C.$$ ¿Es posible resolver la integral original haciendo una sustitución directa en lugar de integración por partes?

Creo que esto funciona:

Supongamos que $v(x)u'(x) = \alpha u(x)v'(x)$ para algunos $\alpha\neq -1$ . (Creo que esto es esencialmente lo que tienes, ya que la integral del lado izquierdo es $\int u(x)v'(x)\,dx$ y la integral de la derecha es $\int v(x)u'(x)\,dx$ ). Me limito a $\alpha\neq -1$ porque si $\alpha=-1$ entonces no se puede "resolver" la integral original. Pero de hecho, a partir del trabajo a continuación obtendremos que $u=\frac{B}{|v|}$ por lo que la integración por partes simplemente dará como resultado la verdadera (pero inútil) $\int u\,dv = B + \int u\,dv$ .

Si $u$ o $v$ son cero, entonces la integral original era la integral de $0$ por lo que podemos descartar ese caso. Así obtenemos que $\frac{u'}{u} = \alpha \frac{v'}{v}$ e integrando obtenemos $\ln|u|=\alpha\ln|v|+C$ o $|u| = A|v|^{\alpha}$ para algunos $A\gt 0$ Por lo tanto $u=B|v|^{\alpha}$ para algunos $B\neq 0$ . Así que la integral original era $$\int u(x)v'(x)\,dx = \int B|v(x)|^{\alpha}v'(x)\,dx$$ lo que sugiere la sustitución $g=v(x)$ para obtener $B\int |g|^{\alpha}\,dg$ .

Añadido: Tenga en cuenta que si $\alpha = -1$ seguimos obteniendo $u=B|v|^{-1}$ y por lo que de nuevo la sustitución $g=|v(x)|$ hará el truco.