Es esta declaración equivalente a la de Legendre de la conjetura?

Question

La distancia máxima desde cualquier número dado n para el siguiente primo es menor que dos veces la raíz cuadrada de n.

Es esta declaración equivalente a la de Legendre de la conjetura? Es esta declaración redactada correctamente? Si esta declaración fuera a ser probada, sería de Legendre de la conjetura de ser probada?

Hay otra manera de expresar Legendre de la conjetura, de una manera que indica que el límite superior en el primer hueco por encima de cualquier cuadrado perfecto está relacionado con la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto, que es equivalente a la instrucción de Legendre de la conjetura?

Tomando en consideración el hecho de que el 3 es la única flor de la forma n^2-1, podemos reformular Legendre de la conjetura a decir lo siguiente?:

Siempre habrá un primer en el intervalo entre la n^2 y n^2+2n.

Tenga en cuenta que para n=1, 2 es entre 1 y 3.

Answer 1

Vamos a decir $r^2 \leq n < (r+1)^2$. Si Legendre de la conjetura es verdadera, no es un buen $p$ en el intervalo de $(r^2,(r+1)^2)$, y otro primer $q$$((r+1)^2,(r+2)^2)$.

Si se estaban preguntando acerca de la distancia entre el $n$ y el más cercano primo, entonces se sigue que, puesto que $n$ $p$ están en el intervalo de $[r^2,(r+1)^2]$ ha $2r$ enteros en su interior, a continuación,$|n-p| < 2r \leq 2\sqrt{n}$. Así Legendre de la conjetura implica que la distancia entre el $n$ y el más cercano prime es menos de $2\sqrt{n}$.

Pero si usted pregunta acerca de la próxima primer después de $n$, parecería coherente con Legendre de la conjetura de si $p=r^2+1$, $n=r^2+2$, y el próximo primer después de$n$$q=(r+2)^2-2$. En ese caso $|n-q| = 4r$ y es mayor que $2\sqrt{n}=2\sqrt{r^2+2}$.

Si su conjetura fuera cierto, entonces el próximo primer después de $r^2$ sería de menos de $r^2+2r$, por lo que se iba a caer dentro de $(r^2,(r+1)^2)$. Por lo tanto, su conjetura implica Legendre, pero no está claro si Legendre implica la suya.

Answer 2

La respuesta a mi pregunta es no.

La respuesta a la primera pregunta que me preguntó fue respondida. En efecto, si el límite superior para el primer gap por encima de n es < (2)(la raíz cuadrada de n), luego de Legendre de la conjetura es verdadera. Sin embargo, de Legendre de la conjetura no implica la declaración de que me preguntó acerca de. La declaración en la que inicialmente se le preguntó acerca de que no es exactamente equivalente a la de Legendre de la conjetura.