El número de $e$ (y la exponenciación de la función $e^x$) aparece en muchos lugares, en las matemáticas y la ingeniería. Parece ser que hay una multitud de aplicaciones. Quiero saber por qué.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- La Comprensión intuitiva de la constante "$e$" (5 respuestas )
Respuestas
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Derick Bailey
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¿Por qué es e , de modo especial ?
Ya muy muchos de la humanidad de la antigua matemática intereses en última instancia, convergieron hacia ella:
Aritmética:
Además engendra la multiplicación; la multiplicación engendra exponenciación; exponenciación engendra e, ya que mediante el estudio de que es inevitable llegar a la conclusión de que este número es la base natural.
$\sqrt[\large^n]{\text{LCM}(1,2,3,\ldots,n)}~$ tiende a e como n tiende a infinito.
Geometría:
- Los círculos y las hipérbolas se han estudiado desde la antigüedad; e es el último, de lo $\pi$ es a la antigua.
Finanzas:
- El examen de la forma en que los intereses de la banca se calculan nos lleva a descubrir la misma cantidad.
Cálculo:
La serie armónica ha sido estudiado desde la antigüedad; su continuo equivalente es $\displaystyle\int\frac1x~dx$ $=\log_ex$.
La solución a $f(x)=f'(x)$$a~e^x$, lo que significa que la función exponencial es inmune a las operaciones de diferenciación e integración.
Yves Daoust
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Exponenciales pop-up en el lineal de ecuaciones diferenciales que rigen innumerables fenómenos físicos. Tales ecuaciones aparecen cada vez que la variación de una magnitud física es proporcional a la misma cantidad física.
Tomemos la descarga de un condensador en un resistor: debido a la resistencia, la corriente es proporcional a la tensión, y debido a que el condensador, la tensión es proporcional a la carga. Por último, el condensador se vacía a una velocidad proporcional a la corriente.
Esto es resumido por el arquetipo de la siguiente ecuación:
$$\frac{du}{dt}=-u.$$
Esta ecuación se resuelve, como
$$\frac{du}u=-t,$$ entonces $$\int\frac{du}u=-\int dt,$$ entonces $$\log_e(u)=-t$$ entonces $$u=e^{-t}.$$
Expresa que el capacitor se descarga de forma exponencial, es decir, después de $1$ unidad de tiempo, sólo $1/e=37\%$ de la carga inicial sigue siendo, después de dos unidades de tiempo, $1/e^2=14\%$, después de tres unidades de tiempo, $1/e^3=5\%$... El descenso es rápido y sigue una progresión geométrica.
Este es un comportamiento típico de los sistemas, que se desplazan de un estado a otro, después de una etapa transitoria con un decaimiento exponencial. La ecuación diferencial que se muestra cómo la función exponencial aparece. También muestra que el $e$ es una base natural de exponenciales y logaritmos, ya que es la única base de que
$$(\log_b(x))'=\frac1x$$and similary$$(b^x)'=b^x.$$
$e$ es natural de "unidad" en el mismo sentido que el $2\pi$ natural angular de la unidad para las funciones trigonométricas, como
$$(\sin(x))'=\cos(x)$$
es válido en radianes, es decir, cuando una vuelta completa es $2\pi$.
(Por el contrario, $(2^x)'=0.69314718\cdots 2^x$, e $(\sin_°(x))'=0.01745329\cdots\cos_°(x)$ en grados).
En realidad, todas las funciones elementales que se encuentran en una calculadora están estrechamente relacionadas con la exponencial: la exponencial $e^x$ sí, su inverso $\ln(x)=\log_e(x)$, la exponencial y logaritmos en otras bases, $b^x$$\log_b(x)$, los poderes $x^y$, calculada a partir de $x^y=e^{y\ln(x)}$; a continuación, las funciones trigonométricas construido a partir de la exponencial imaginaria $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, las funciones que se derivan de ellas $\tan,\sec,\csc,\cot$ y sus inversos $\arccos,\arcsin,\arctan,\cdots$. Lo mismo para las funciones hiperbólicas.
Como logaritmos y antilogarithms puede ser utilizado para realizar multiplica y divide, una gran parte de las matemáticas se puede hacer con $+, -, \ln(z),e^z$! ($z$ para denotar los números complejos.)
Por ejemplo,
$$\arccos(x)=-i\ln\left(x+ie^{e^{\ln\left(\ln\left(1-e^{e^{ln(ln(x))+ln(2)}}\right)\right)-\ln(2)}}\right).$$
(Esta sección es informal.)
Para calcular el valor de $e$, vamos a utilizar la ecuación diferencial. Como $$(e^x)'\Big|_{x=0}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=e^0=1,$$ tenemos $$e^x\approx1+x$$ for small $x$.
A continuación, $$e=(e^{1/n})^n\approx\left(1+\frac1n\right)^n,$ $ y $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n.$$
También, por el teorema del binomio,
$$\left(1+\frac1n\right)^n=1+\frac nn+\frac{n(n-1)}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3}\cdots\approx1+1+\frac12+\frac1{3!}\cdots$$ y en el límite, $$e=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}.$$
smo
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41
$e$ es el número real positivo que satisface la ecuación diferencial \begin{equation} \frac{d}{dt} e^t = e^t \end{equation} También, en los problemas de ingeniería, el número de $e$ aparece en las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales (ver, por ejemplo, el artículo de la wikipedia sobre ecuaciones diferenciales Lineales).
CodingBytes
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La idea de crecimiento exponencial o caries es natural: ciertos continua cantidades incremento $10\%$ cada año, otras cantidades obtener la mitad, en el curso de $10\,000$ años, etcétera. Dada una unidad de tiempo hay todavía "lento" y "rápido" incrementos exponenciales: una cantidad puede doblar en una unidad de tiempo, o se puede aumentar por un factor de $100$ en una unidad de tiempo. Por lo tanto, tenemos una unidad para la "velocidad" de un crecimiento exponencial. Llegamos a él de la siguiente manera: Entre todas las curvas de crecimiento exponencial $t\mapsto f(t)$ $f(0)=1$ no es exactamente la que tiene pendiente $1$$(0,1)$. La base para este particular, $f$ es de un cierto número de $>1$. Este número es llamado $e$, su valor resulta ser de alrededor de $2.718$. De esta manera, el estándar de la función exponencial es $f(t)=e^t$.
