Deje $T$ ser una expresión algebraica de grupo de tipo multiplicativo sobre un campo $K$. Vamos $$X^*(T)=\operatorname{Hom}_{\overline{K}}(T_{\overline{K}},(G_m)_{\overline{K}}) = \operatorname{Hom}_{\overline{K}}(\overline{K}[X,X^{-1}],O_T \otimes_K \overline{K})$$ su carácter de grupo.
Cómo se define la acción de $\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$$X^*(T)$ ?
Estoy leyendo Milne notas (lema teorema 5.2 y 5.3, p.223) sobre el hecho de que $G \mapsto X^*(G)$ es una equivalencia de categorías entre algebraica de los grupos de tipo multiplicativo y Galois módulos. Él está hablando acerca de " canónica de la acción de $\operatorname{Gal}$$X^*$'. Puede ser simple, pero no puedo averiguar qué es.
