Cantor de la construcción es continua

Question

Defina una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como sigue:

$f(x)=0$ $x\le 0$. $f(x)=1$ para $x\ge1$.

$f(x)=\dfrac12$ $x\in\left[\dfrac13,\dfrac23\right]$.

$f(x)=\dfrac14$ $x\in\left[\dfrac19,\dfrac29\right]$, $f(x)=\dfrac34$ para $x\in\left[\dfrac79,\dfrac89\right]$.

y así sucesivamente.

Por lo que esta función ha sido definida en $\mathbb{R}$, excepto para el conjunto de Cantor. ¿Cómo podemos llenar en la función sobre el conjunto de Cantor, de manera que obtenemos una función continua?

Answer 1

Indicar la función que construye en $\mathbb{R}\setminus C$$f$. La cuestión es cómo definir el Cantor de la función en $[0,1]$. Se puede utilizar la fórmula $$ F(x)=\sup_{t\[0,x]\setminus C} f(t),\qquad x\in[0,1] $$ La función de $F$ es continuo gracias a la siguiente lema.

Lema. Deje $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ es no decreciente y $F([a,b])$ es denso en $[F(a),F(b)]$, $F$ es continua.

Prueba. Desde $F$ es no decreciente existen finito uno de los límites laterales en cualquier $x\in[a,b]$, denotan ellos $F(x+)$$F(x-)$. Suponga $F$ es discontinua en a$c\in[a,b]$,$f(c-)<f(c+)$. En este caso,$F([a,b])\cap(F(c-),F(c+))=\{F(c)\}$, lo $F([a,b])$ no es denso en $[F(a),F(b)]$. Contradicción.

Answer 2

Definir la función de cantor como se define en wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function , ver la sección "proceso iterativo de construcción". Entonces demostrar que $$|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq \frac {1}{2^n}$$ y usar esto para probar que $\sup_{x\in[0,1] }|f_m(x)-f_n(x)|\to 0$$m,n\to \infty$. Por lo tanto, $f_n$ converge uniformemente, y el límite tiene que ser continua, ya que las funciones de $f_n$.