$x^2 + 1 = z = y^3 - 1$
¿Por qué $z = 26 $ y sólo $26$? ¿Hay una prueba elemental de?
Respuestas
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En lugar de escribir $$x^2+2=y^3$$ so that $x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})$ is a norm from the integer ring $\Bbb Z[\sqrt{-2}]$ which is Euclidean. So then it is clear that $\gcd(x+\sqrt{-2},x-\sqrt{-2})|\sqrt{-2}$, so that if $\sqrt{-2}\no |x / $ they are coprime. Since $x$ is an integer, this means their gcd is $\sqrt{-2}$ iff $x$ es par y 1 en caso contrario.
Caso 1: $\sqrt{-2}|x$ donde $x=2m$, de modo que tenemos $x^2+2=4m^2+2=2(m^2+1)$ $2|y$ $m=2k+1$ necesariamente. Pero, a continuación, $x^2+2=4(k^2+k+1)$ $k^2+k+1$ es siempre impar $\mod 4$, una contradicción ya que el $8|y^3$. Por lo tanto $x$ es extraño que nos pone en
Caso 2: $\gcd(x+\sqrt{-2},x-\sqrt{-2})=1$
A continuación, $x+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3$ y aquí viene lo bueno:
$$(a+b\sqrt{-2})^3=a^3+3a^2b\sqrt{-2}-6ab^2-2b^3\sqrt{-2} = (a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^3)\sqrt{-2}$$
Ahora desde $3a^2b-2b^3=b(3a^2-2b^2)=1$ debe ser ese $b=\pm 1$ y de manera similar a $3a^2-2b^2=\pm 1$. Desde $b^2=1$ esto significa $3a^2=2\pm 1$ clara $3a^2=1$ es imposible, por lo $a=\pm 1$ nos da nuestra única solución.
Por lo $x=a^3-6a=a(-5)$ la única posibilidad es $x=5$, que inmediatamente da $y=3$.
anomaly
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La ecuación de $y^2 = x^3 - 2$ define una curva elíptica, y es sabido que una curva tiene sólo un número finito de enteros soluciones. No creo que hay una manera simple de encontrar todas las soluciones, a pesar de que, al menos en el caso general. Hay soluciones algorítmicas, pero nada que se puede hacer fácilmente con la mano.
Este artículo cubre algunos casos de la curva de Mordell $y^2 = x^3 + k$ el uso de métodos de primaria, y se incluye específicamente el caso de $y^2= x^3 - 2$ mencionó. La técnica depende de manera crucial en el anillo de enteros en $\mathbb{Q}(\sqrt{k})$ ser una única factorización de dominio, sin embargo, que no es el caso en general. Es cierto para $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, aunque, por lo que resulta ser sencillo (a pesar de que implica un poco de cómputo).
