Solucionar $y^{\prime \prime}-(y^{\prime})^2-y^{\prime}=0$

Question

Solucionar $y^{\prime \prime}-(y^{\prime})^2-y^{\prime}=0$. Yo uso $$u=\frac{dy}{dx}$$ to transform the DE into $$\frac{du}{dx}-u^2-u=0$$. I know that this is an Bernoulli equation with $n=2$. I get the final solution is $$y=-ln|1-Ae^x|+D$$ where $A=+-e^c$. But my lecturer's answer is $$y=-ln|C_1+c_2e^x|$$. Puedo saber cuál es la diferencia mi respuesta y mi profesor de respuesta ?

Answer 1

Las respuestas son las mismas. $D$ es una constante arbitraria así que vamos a $D=\ln(D')$ arbitrarias $D'$ $e^c$ es sólo otra constante por lo $e^c=c'$ por un arbitrario $c'$, y por lo que ahora $$y=-ln|1-Ae^x|+D=-ln|1-c'e^x|+\ln(D')=-\ln(D' -D' c' e^x|$$ Deje $c_1=D'$ $c_2=c'D'$ y listo.

Answer 2

Se puede ver que las dos respuestas son equivalentes como sigue: \begin{align} -\ln |1 - Ae^x| + D & = -\ln |1-Ae^x| + \ln e^D \\ & = -\ln e^D|1 - Ae^x| \\ & = - \ln |e^D - e^D Ae^x| \\ & = -\ln | c_1 + c_2 e^x|,\end{align} donde$c_1 = e^D$$c_2 = -Ae^D$.